WisFaq!

Lebesgue integreerbare afbeeldingen

Beste

Zij E $\subseteq $ R^d meetbaar. We noteren de d-dimensionale Lebesgue-maat met $\mu $ . Zij f een Lebesgue-integreerbare afbeelding E- $>$ ]0,oneindig[. Toon aan dat lim n- $>$ inf ∫f^(1/n)= $\mu $ (E) de integraal is over E genomen. Wilt u mij aub op de goede weg zetten. Alvast bedankt!

Met vriendelijke groeten
Rafik

Rafik
16-8-2022

Antwoord

Verdeel $E$ in twee stukken: $D=\{x\in E:f(x)\ge1\}$ en $F=\{x\in E: f(x) < 1\}$.
Op $D$ geldt dat de rij $f^{\frac1n}$ monotoon daalt naar de constante functie $1$; daar kun je de gedomineerde-convergentiestelling toepassen.
Op $F$ is de rij juist stijgend, ook met limiet de constante functie $1$; daar kun je de monotone-convergentiestelling toepassen.

kphart
17-8-2022