WisFaq!

Kern en beeld lineaire afbeelding

Beste

Ik loop vast bij het oplossen van deze oefening.

de lineaire afbeelding R₄·4$\to$R₄·4: A$\to$ f(A)=A+A(getransponeerd)

We moeten hier de dimensie van de kern en een basis van de kern geven alsook een basis van het beeld. Tenslotte moeten we nog bepalen als het een directe som is of niet.

Ik weet dat het een directe som is als de kern enkel 0 bevat. Dan is de dimensie van het beeld volgens mij 16 en kan je als basis de standaardbasissen geven van R₄·4. Ik weet ook dat als je lineaire afbeelding een isomorf is dat je dan sowieso een kern hebt die enkel 0 bevat.

Om een isomorf te zijn moet de lineaire afbeelding gan van 2 vectorruimten met dezelfde dimensie (dit is hier het geval: R₄·4), maar ik weet niet als dit een voldoende voorwaarde is? Ik weet ook niet hoe je op een andere manier een basis van de kern vindt?

Wel weet ik dat je een basis van de kern kan berekenen via de nulruimte, maar ik weet niet hoe je dit hier best aanpakt.

Alvast heel hard bedankt!
Met vriendelijke groeten

student
17-6-2022

Antwoord

De dingen die je noemt hebben weinig met de vraag te maken, zeker niet met a) en b). Ik zou eerst eens beginnen met de kern van de afbeelding te bepalen; die bestaat uit de matrices $A$ waarvoor $f(A)$ de nulmatrix is. Dat betekent dat $A+A^T$ de nulmatrix moet zijn, en dus dat $A=-A^T$, zo'n matrix heet ook wel scheefsymmetrisch. De ruimte van scheefsymmetrische matrices heeft dimensie $6$, en er is een mooie basis voor, die kun je aangeven met $A_{2,1}$, $A_{3,1}$, $A_{3,2}$, $A_{4,1}$, $A_{4,2}$, en $A_{4,3}$. Hierbij heeft $A_{i,j}$ een $1$ op positie $(i,j)$ en een $-1$ op positie $(j,i)$ en verder nullen.

De dimensiestelling zegt nu dat de dimensie van $\operatorname {Im} f$ gelijk is aan $\dim R^{4\times4}=\dim\operatorname{Ker} f=16-6=10$.

Verder bestaat $\operatorname{Im} f$ uit alle symmetrische matrices en je kunt een als volgt basis maken: eerste zes stuks als boven maar nu met een $1$ op posities $(i,j)$ en $(j,i)$, en dan nog vier met één $1$ op de diagonaal en verder nullen.

Voor de directe som moet je weten of de doorsnede uit precies de nulmatrix bestaat (en dat is zo: als $A$ symmetrisch en scheefsymmetrisch tegelijk is is $A$ de nulmatrix).

kphart
17-6-2022