WisFaq!

Bewijs abc formule met complexe getallen

ik ben bezig met het bewijs van de abc-formule en nu heb ik ergens op internet een stukje gevonden wat een goed bewijs geeft. Echter wordt hier complexe getallen aan toegevoegd en snap ik niet meer welke stappen ze ondernemen om naar het eindantwoord te gaan. Iemand die kan uitleggen hoe je vanaf hier verder moet?

Ik heb:
ax²-ay²+bx+c=0
Ik heb:
2axiy + biy=0....

Thanks alvast!

Mocht het niet duidelijk zijn, hier is de link naar het bestand. het betreft onderste deel van pagina 6 en bovenste deel van pagina 7.

Jennifer
10-6-2022

Antwoord

Wat er gebeurt is dat met inderdaad naar de complexe getallen overstapt en een complex getal $z=x+iy$ invult.
Dat geeft
$$az^2+bz+c=a(x+iy)^2+b(x+iy)+c=0
$$Als je de complexe vermenigvuldiging uitvoert komt er, via $(x+iy)^2=x^2+2xiy+(iy)^2=x^2-y^2+2xiy$, dit uit:
$$a(x^2-y^2)+bx+c +2axiy+biy=0
$$of
$$ax^2-ay^2+bx+c+iy(2ax+b)=0
$$Ik heb dit even voor de andere lezers uitgeschreven, nu zijn we op jouw punt aanbeland, want het reële deel, dat is $ax^2+bx+c-ay^2$, en het imaginaire deel, dat is $y(2ax+b)$, van de linkerkant moeten beide gelijk aan nul zijn. Dat geeft je twee vergelijkingen.
De tweede vergelijking heeft oplossingen $y=0$ of $x=-\frac b{2a}$. Met $y=0$ krijgen we de vergelijking weer terug en dat helpt niet, dus kijken we wat $x=-\frac b{2a}$ oplevert; schrijf de eerste vergelijking even om:
$$ay^2=ax^2+bx+c \text{ of }y^2=x^2+\frac bax+\frac ca
$$(de eerste vergelijking op pagina 7 is dus niet correct) vul nu $x=-\frac b{2a}$ in:
$$y^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a^2}+\frac ca = \frac{-b^2+4ac}{4a^2}
$$(de formules voor $y_1^2$ en $y_1$ kloppen dus ook al niet).
Nu gaat het ons om $z$, en dus ook om $iy$, dus schrijven we
$$(iy)^2=-y^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
$$Maar dan zien we
$$iy=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$en daarmee
$$z=-\frac b{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$

Zie De geschiedenis en methodes voor het oplossen van vergelijkingen met polynomen [https://fse.studenttheses.ub.rug.nl/15199/1/ScriptieCynthiadeWitS2306085pdf.pdf ]

kphart
10-6-2022