WisFaq!

Vraag over omkering richting eigenvector bij een 2x2 matrix

De vraag is het vinden van een orthogonale matrix Q en een diagonaalmatrix D zulks dat QtransposeAQ=D voor de matrix

A= 4 1
   1 4

Bij de uitwerking van de $\lambda $ =3, in het bijzonder A-3I krijg ik bij het schoonvegen van de bovenstaande matrix, het volgende: x2=t vrije variabele en x1=-x2= -t. En dus de eigenvector (-1, 1) Het boek zegt echter (1, -1)

Zie ik hier iets over het hoofd? Kun je uit de matrix of bij het ontbinden in factoren van het karakteristiek polynoom $\lambda $ kwadraat-8 $\lambda $ +15 iets afleiden dat de richting van de eigenvector omkeert van (-1, 1) naar (1, -1)?

Jong Wan Weijters
18-5-2022

Antwoord

Elk veelvoud (behalve de nulvector) van een eigenvector is weer een eigenvector. Bij $\lambda=3$ hoort een hele lijn van eigenvectoren: $\{(t,-t):t\in\mathbb{R}, t\neq0\}$ en daar zitten $(1,-1)$ en $(-1,1)$ beide in.
Jouw antwoord is ook goed.

kphart
18-5-2022