WisFaq!

Inhoud cilinder met afgeplat onderzijde

Ik zoek een inhoud berekening voor vloeistof in een verticale cilinder met een afgeplatte onderzijde. Met name de inhoud indien de bodem nog niet helemaal bedekt is.

Helling/afplatting 1:20

D = 300 mm (diameter cilinder)
H = 200 mm (vloeistofhoogte in de cilinder op laagste punt)

Ik ben dus op zoek naar het volume als functie van de hoogte.

Groet Jan

Jan
9-5-2022

Antwoord

Laten we de cilinder zo draaien dat de lange lijnen in de tekening op/boven de $x$-as liggen en de centrale as op de $z$-as ligt. Dan heeft het grondvlak de (makkelijke) vergelijking $z=\frac1{20}(x+150)$.

De plak op hoogte $z\le15$ wordt dan bepaald door $x^2+y^2\le150^2$ èn $x\le 20z-150$.
De oppervlakte van zo'n plak is gelijk aan
$$\mathrm{Opp}(z)=\int_{-150}^{20z-150}2\sqrt{150^2-x^2}\,\mathrm{d}x
$$met behulp van een tabel of door partiële integratie vinden we dat de integraal gelijk is aan
$$\begin{aligned}
\left[x\sqrt{150^2-x^2}+150^2\arcsin\frac x{150}\right]_{-150}^{20z-150} & =
(20z-150)\sqrt{150^2-(20z-150)^2}\\
&\qquad{}+150^2\arcsin\frac{2z-15}{15}+150^2\cdot\frac\pi2
\end{aligned}
$$Het volume $V(h)$ is voor $h\le15$ dan gelijk aan
$$\int_0^h\mathrm{Opp}(z)\,\mathrm{d}z
$$met wat werk, of met behulp van tabellen, wordt dit
$$\begin{aligned}
V(h)&=\frac{150^2\pi}{2}h-\frac1{60}(150^2-(20h-150)^2)^{\frac32}\\
&\qquad{}+
\frac{15}2\times150^2\left(\frac{2h-15}{15}\arcsin\frac{2h-15}{15}+\sqrt{1-\left(\frac{2h-15}{15}\right)^2}+\frac\pi2\right)
\end{aligned}
$$Als $h=15$ krijgen we precies het volume van de cilinder met diameter $300$ en hoogte $15$, gedeeld door $2$, dus $V(15)=\frac12\pi\cdot150^2\cdot15$.
Voor $h\ge15$ hebben we
$$V(h)=V(15)+\pi\cdot150^2\cdot(h-15)
$$

kphart
12-5-2022