WisFaq!

Bewijs door volledige inductie

Beste

Ik moet het volgende bewijzen door volledige inductie: voor elke natuurlijke getal n verschillend van nul, geldt: 3²ⁿ-1 is een viervoud

Ik weet hoe dat dit bewijs in elkaar zit, maar ik snap niet hoe ik moet beginnen
bv bij de eerste stap moet je bewijzen dat het geldt voor n = 1, moet je dan het zo oplossen: 3²ⁿ-1 = n/4, maar dan klopt het weer niet.

Alvast bedankt

nvt
9-5-2022

Antwoord

Te bewijzen: $3^{2n}-1$ is een viervoud.

Stap 1.
Neem $n=1$
$3^{2·1}-1=8$
Klopt! 8 is een viervoud.

Stap 2.
Neem n+1 en laat zien dat als $3^{2n}-1$ een viervoud is dan is $3^{2(n+1)}-1$ dat ook.

[uitwerken]

...en dan nog netjes opschrijven en dan ben je er...

Lukt dat?

Naschrift
Sterker nog: $3^{2n}-1$ is zelfs een achtvoud.
Een goed begin is het halve werk...

$
\eqalign{
& 3^{2(n + 1)} - 1 \cr
& 3^{2n + 2} - 1 \cr
& 3^{2n} \cdot 3^2 - 1 \cr
& 9 \cdot 3^{2n} - 1 \cr
& 8 \cdot 3^{2n} + 3^{2n} - 1 \cr}
$

WvR
9-5-2022