WisFaq!

Bepalen van buigpunten

Hallo, ik volg een cursus Wiskuden B(oude stijl) van de LOI. Omdat ik een leraar dus niet rechtstreeks kan vragen komt deze site me wel erg goed van pas.
Er wordt gevraagd naar de buigpunten van de functie f(x)=-x⁶+5x⁴-4 Nu kom ik er toevallig achter dat een van de buigpunten samen valt met een extreme waarde van f`. Heb ik nu iets verkeerd berekend of vervalt dat buigpunt gewoon. Ik zal laten zien hoe ver ik gekomen ben.

f(x)=-x⁶+5x⁴-4
f`(x)=-6x⁵+20x³
f``(x)=-30x⁴+60x²

Buigpunten zijn:
f``(x)=0 dus -30x⁴+60x²=0 ; -30x²(x²-2)=0 ;
x=0 of x=-Ö2 of x=Ö2
f(0)=-4 , f(-Ö2)=8 en f(Ö2)=8
dus (0,-4),(-Ö2,8) en (Ö2,8) zijn de buigpunten.

Maar nu komt mijn probleem.
f`(x)=0 dus -6x⁵+20x³=0 ; -6x³(x²-3¹/₃)=0 ;
x=0 of x=-Ö3¹/₃ of x=Ö3¹/₃
extreme waarden zijn dus:
(0,-4) , (-Ö3¹/₃,f(-Ö3¹/₃) en
(Ö3¹/₃,f(Ö3¹/₃)

Hier uit volgt dus dat het buigpunt (0,-4) samen valt met de extreme waarde (0,-4). Dat kan natuurlijk nooit maar hoe moet ik dit dan oplossen???? (Ik denk zelf dat ik het buigpunt (0,-4) moet laten vervallen of ik heb iets verkeerd berekend)

A.Bergman
7-4-2003

Antwoord

Hoi,

Om zeker te zijn dat het om een buigpunt gaat moet je altijd het tekenverloop controleren. Alleen als er sprake is van tekenwisseling is er ook sprake van een buigpunt.
De oplossingen van de tweede afgeleide zijn inderdaad 0,Ö2 en -Ö2.
Als je nu twee getallen direkt links en rechts van nul neemt bv -¹/₂ en ¹/₂ en vult deze in dan wordt het dus:

-30*(-¹/₂)⁴+60*(-¹/₂)²=13,125 (positief)
-30*(¹/₂)⁴+60*(¹/₂)²= 13,125 (positief)

De uitkomsten zijn beiden positief dus er vindt geen wisseling van teken plaats en is het dus ook geen buigpunt.
Als je het zelfde doet bij de twee andere oplossingen zul je zien dat er wel wisseling van teken plaatsvindt dus zijn dit wel buigpunten.

Met vriendelijke groet

pl
7-4-2003