De hoekpunten van zo'n $n$-hoek liggen op een cirkel met straal $r$. Deze $n$-hoek bestaat uit $n$ gelijkbenige driehoeken met basis $k$, hoogte $h$ en tophoek $\beta$. De oppervlakte van één zo'n driehoek is $\eqalign{
O_{driehoek} = \frac{1}
{2} \cdot k \cdot h}
$
Je krijgt dan:
$
\eqalign{
& h = r \cdot \cos \left( {\frac{\beta }
{2}} \right) \cr
& k = 2 \cdot r \cdot \sin \left( {\frac{\beta }
{2}} \right) \cr}
$
Invullen geeft:
$
\eqalign{
& O_{driehoek} = \frac{1}
{2} \cdot k \cdot h \cr
& O_{driehoek} = \frac{1}
{2} \cdot 2 \cdot r \cdot \sin \left( {\frac{\beta }
{2}} \right) \cdot r \cdot \cos \left( {\frac{\beta }
{2}} \right) \cr
& O_{driehoek} = r^2 \cdot \sin \left( {\frac{\beta }
{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{\beta }
{2}} \right) \cr
& O_{driehoek} = \frac{1}
{2} \cdot r^2 \cdot \sin \left( \beta \right) \cr}
$
Voor de oppervlakte van de regelmatige n-hoek kan je op dezelfde manier de formule voor een willekeurige waarde van $n$ afleiden:
$
\eqalign{
& O_{n - hoek} = \frac{1}
{2} \cdot n \cdot r^2 \cdot \sin \left( \beta \right) \cr
& \beta = \frac{{360^\circ }}
{n} \cr}
$
Oftewel:
$
\eqalign{O_{n - hoek} = \frac{1}
{2} \cdot n \cdot r^2 \cdot \sin \left( {\frac{{360^\circ }}
{n}} \right)}
$
Daarmee kan je voor een regelmatige n-hoek de oppervlakte uitrekenen.
Als je de hoeken liever in radialen wilt uitdrukken dan krijg je:
$
\eqalign{O_{n - hoek} = \frac{1}
{2} \cdot n \cdot r^2 \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}
{n}} \right)}
$
Voor $r=1$ en $n\to\infty$ zou hier dan $\pi$ uit moeten komen...
Naschrift
Dit kan ook:
$
\eqalign{O_{n - hoek} = n \cdot r^2 \cdot \sin \left( {\frac{\pi }
{n}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }
{n}} \right)}
$
Dat is ook leuk...
WvR
3-2-2002