WisFaq!

Re: Re: Convergentie vraagstuk

Ja ik vind het ook wat raar.
Maar ik vraag me af of het een groot verschil geeft of de limiet nu -1 is of 0.
Wij gebruiken om convergentie of divergentie aan te tonen verschillende testen. bv verhoudingstest,vergelijkingstest,integraaltest,...

en de verhoudingstest zegt dat als lim n $\to $ $\infty $ Un+1/un $<$ 1 de reeks divergeert en 0 en -1 zijn beide kleiner dan 1.

ik weet niet of ik de oefeningen goed aan het oplossen ben. maar ik kom wel altijd het juiste resultaat uit.

als ik de grafiek van 1/ln(cosh(n)) teken en de grafiek van 1/n dan zijn deze toch equivalent aan elkaar op oneindig.

bovendien staat er in mijn boek dat je altijd kan proberen de reeks naar de vorm c/n^p te brengen op oneindig. Maar het moet echt equivalent zijn aan dit.

Mike
15-4-2022

Antwoord

Je bent nu een beetje het onderwerp aan het veranderen. We begonnen met: als het quotiënt van twee rijen $a_n/b_n$ limiet $1$ heeft geldt dat dan ook voor de rijen die uit de gegeven rijen worden gemaakt: heeft $f(a_n)/f(b_n)$ dan ook automatisch limiet $1$?

We hebben gezien dat dat heel vaak niet het geval is en dat er in de voorbeelden die je genoemd hebt meer aan de hand moet zijn dan alleen maar $\lim_n\frac{a_n}{b_n}=1$, omdat het daar wel goed afloopt.
Er geldt $\lim_n\frac{n+1}n=1$ maar $\lim_n{n^{n+1}}{(n+1)^n}=\infty$; dus $\lim_n\frac{a_n}{b_n}=1$ is niet sterk genoeg om te kunnen concluderen dat $\lim_n\frac{a_n^{b_n}}{b_n^{a_n}}=1$.
In je eerste voorbeeld hadden we $n+\frac1n$ en $n$; daar was die limiet wel gelijk aan $1$. Er moet dus meer aan de hand zijn dan alleen $\lim_n\frac{a_n}{b_n}=1$ (en er is meer aan de hand: er geldt ook nog $\lim_n(a_n-b_n)=0$).

Je dwaalt nu af naar convergentietesten voor reeksen; dat is een ander onderwerp.

Je opmerking over het quotiëntencriterium klopt niet geheel: die is voor reeksen met positieve termen, dus die limiet, als hij bestaat, is nooit negatief.
Die test faalt jammerlijk bij reeksen die niet positief zijn: neem $\sum_n(-1)^n$; dan geldt $\lim_n\frac{u_{n+1}}{u_n}=-1$ maar de reeks convergeert niet.

Bij het voorbeeld van $1/\ln\cosh n$ is ook meer aan de hand: het verschil tussen $\cosh n$ en $e^n/2$ gaat naar nul, en dat is (veel) sterker dan asymptotische equivalentie. Je had gewoon geluk dat het goed afliep. De reden dat het goed afliep: Voor $x,y\ge1$ geldt $|\ln x-\ln y|\le|x-y|$ dus $|\ln\cosh n - \ln(e^n/2)|=|\ln\cosh n-n+\ln2|$ convergeert naar nul.

Werken met asymptotische equivalentie kan je op het goede spoor zetten (ook op het spoor van een geschikte $p$ in $c/n^p$) maar aan het eind moet je wel laten zien dat wat je gevonden hebt ook echt werkt.

kphart
15-4-2022