WisFaq!

Re: Re: Reeksen van getallen

bij het voorbeeld (1-1/n)ⁿ zou ik het ook niet toepassen want dan krijg je 1 tot oneindig wat een onbepaaldheid is.
maar oneindig tot oneindig is geen onbepaaldheid.
de voorwaarde van asymptotische equivalentie( f(x) $\sim $ f(x)) is dat lim x $\to $ $\infty $ g(x)/f(x) =1

als ik bv zeg dat n-1/n $\sim $ n voor n $\to $ $\infty $ dan krijg je inderdaad limiet 1.

Op dit ogenblik kan ik het moeilijk navragen omdat het paasvakantie is. Misschien kan je een second opinion vragen over mijn berekening aan iemand anders.

Mike
13-4-2022

Antwoord

Het probleem met je aanpak is dat je de onbepaaldheid $1^\infty$ vervangt door een andere, namelijk $\eqalign{\frac\infty\infty}$.
Het klopt dat $\eqalign{n-\frac1n}$ en $n$ asymptotisch equivalent zijn, maar dat zegt dan weer niets over hun machten als daarin de exponenten ook naar oneindig gaan.

Ik zou zelf in de gegeven breuk teller en noemer door $n^n$ delen; dat geeft
$$\frac{n^{n-\frac1n}}{(n-\frac1n)^n}=\frac{n^{-\frac1n}}{(1-\frac1{n^2})^n}
=\frac1{\sqrt[n]{n}\cdot(1-\frac1{n^2})^n}
$$Nu geldt $\lim_n\sqrt[n]{n}=1$; dit is een bekende standaardlimiet, zie bijvoorbeeld hier.

Ook geldt $\lim_n(1-\frac1{n^2})^n=1$, dus jouw limiet is gelijk aan $1$. Die laatste volgt door insluiten:
$$1 > \left(1-\frac1{n^2}\right)^n > 1-\frac1n
$$de eerste ongelijkheid is duidelijk, de tweede volgt uit de Ongelijkheid van Bernoulli.

Maar de redenering uit het eerste antwoord is goed genoeg: de limiet van de rij, zo die bestaat, is in ieder geval niet gelijk aan $0$; en daar was het uiteindelijk om te doen.

kphart
13-4-2022