Om de formule op te stellen voor de inhoud van een omwentelingslichaam, nemen we eerst benaderend de som van de inhouden van een aantal rechte cilindrische schijven, vervolgens nemen we de som van een oneindig aantal schijven en in de limiet vinden we de formule.
Iets analoog doen we bij de manteloppervlakte van een omwentelingslichaam. We verdelen het omwentelingslichaam eerst benaderend in een aantal afgeknotte kegels waarna we de som van alle mantelopp berekenen. In de limiet voor het aantal afgeknotte kegels naderend tot oneindig, verkrijg je de formule voor de mantelopp en valt de benadering weg.
Waarom werkt deze tweede formule niet als je het omwentelingsopp benaderend verdeelt in rechte cilindrische schijfjes, daarvan de mantelopp berekent en dan daarvan de limiet neemt voor het aantal cilindrische schijfjes naderend tot oneindig?M. Vervoort
19-1-2022
Het korte antwoord: omdat het voor, bijvoorbeeld, een kegel het foute antwoord geeft: reken maar na.
Het lange antwoord (eigenlijk het korte antwoord maar in andere taal): oppervlakte is geen continue functie. Oppervlakken die heel dicht bij elkaar liggen kunnen heel erg in oppervlakte verschillen, denk aan een glad vel schrijfpapier en een even groot en bijna even dun vel crepe-papier.
Iets dergelijks heb je ook met krommen en lengte: als jij 10 meter loopt en de hele een sleutel aan een kort touwtje ronddraait (om een vinger) dan is de afgelegde weg van de sleutel veel en veel langer dan 10 meter.
kphart
19-1-2022
#93287 - Integreren - Student universiteit België