WisFaq!

Re: Eigenvector van een matrix en haar adjunct

Ik heb geen ervaring met geadjungeerde matrices. Dit is ook geen stof die wordt behandeld in mijn opleiding. Vreemd genoeg is deze vraag opgegeven als tentamenstof. Ik stuur u de vraag door zoals deze in mijn wiskundeboek staat.

Erwin den Boer
3-1-2022

Antwoord

De vraag is er nu wel.
Ten eerste er is een subtiel verschil tussen de namen van twee soorten matrices die bij een gegeven matrix horen:

• de Geadjugeerde matrix (Engels: adjugate); die noemde je in je eerste vraag maar die wordt niet bedoeld in de vraag hierboven, die gaat over
  
• de Geadjungeerde matrix (Engels: adjoint) (let op de n); dat is de matrix die je krijgt als je de matrix transponeert en van alle getallen de complex geconjugeerde neemt
  

De matrix in de opgave is reëel, dus $A^*=A^T$, de getransponeerde dus.

Nu hebben $A$ en $A^T$ in het algemeen dezelfde eigenwaarden en in de vraag gaat het over de eigenvectoren van $A$ en die van $A^T$ bij dezelfde eigenwaarde.

De matrix $A$ in je vraag heeft alleen $2$ als eigenwaarde, en $A^T$ dus ook; de eigenvectoren van $A$ bij eigenwaarde $2$ zijn de veelvouden van $\binom{1}{-1}$ en de eigenvectoren van $A^T$ bij diezelfde eigenwaarde zijn de veelvouden van $\binom11$. Die twee vectoren zijn inderdaad orthogonaal.

Het idee van c is dat de kolomruimte van $A-2I$ in gelijk is aan het orthogonale complement van de nulruimte van $(A-2I)^T$; die laatste bestaat uit de eigenvectoren van $A^T$ bij eigenwaarde $2$, en $\xi$ staat loodrecht op die nulruimte en zit dus in de kolomruimte van $A-2I$; daarom is $(A-2I)\eta=\xi$ oplosbaar.

(Normale matrices komen in deze vraag niet voor en de adjunct ook niet.)

kphart
3-1-2022