WisFaq!

Limieten zonder de regel van L`hospital

Beste

Ik moet dus de volgende limiet berekenen zonder gebruik te maken van de regel van L'hospital:
lim (1 + sin(x) + sin(2x))^(1/tg(x)) voor x naar 0

Ik heb echt al van alles geprobeerd...

Volgens Mathway zou de oplossing e³ moeten zijn...

We hebben enkel de volgende 2 limieten gezien:

Lim naar onindig van (1+ 1/x)^x is e
En lim naar nul van (sinx/x) is 1

Alvast erg bedankt.
Mvg

X
28-10-2021

Antwoord

De ingrediënten heb je al; je moet je eerste limiet nog even omschrijven door $1/x$ (met $x\to\infty$) te vervangen door $u$ (met $u\to0$).
Je hebt dus ook $\lim_{u\to0}(1+u)^{\frac1u}=e$.
Met $u=\sin x+\sin 2x$ krijg je zo ook:
$$\lim_{x\to0} (1+\sin x+\sin2x)^{\frac1{\sin x+\sin2x}}=e
$$in je totale uitdrukking heb je dan in de exponent dit quotiënt over:
$$\frac{\sin x+\sin 2x}{\tan x} = \cos x\times\frac{\sin x+\sin2x}{\sin x}
$$De limiet daarvan kun je met je tweede limiet bepalen door teller en noemer met $x$ te vermenigvuldigen:
$$\cos x\times\left(\frac{\sin x}x+2\frac{\sin2x}{2x}\right)\times\frac x{\sin x}
$$Nu is die limiet (voor $x\to0$) gelijk aan $1\times(1+2)\times1$.

kphart
29-10-2021