WisFaq!

Partieel integreren

Hallo, ik heb de opgave f(x)=(x²-x+2)e^x die ik moet primitiveren. Ik snap alleen niet wanneer je het tweede deel van de integraal opnieuw moet integreren dat de - in een + verandert, zou u mij door middel van een uitwerking kunnen helpen? Mvg Jaimy.

jaimy
27-5-2021

Antwoord

Het is een kwestie van partieel integreren met de productregel. Ik zou dan wel de functie eerst splitsen in f(x) = x²·e^x - x·e^x + 2·e^x Nodig is dat splitsen niet maar het geeft wel duidelijker inzicht.

De productregel zegt $\int{}$f·g' = f·g - $\int{}$f'·g Nu kies ik altijd g'=e^x
dan krijg ik $\int{}$x²·e^x = x²·e^x - $\int{}$2x·e^x

Dat laatste deel is weer een vorm voor partieel integreren met de productregel. Als je wat werk wilt besparen pak je daar meteen tweede term van de oorspronkelijke functie bij zodat je nu moet berekenen:
$\int{}$-3x·e^x = -3x·e^x + $\int{}$3·e^x
Die laatste kan je samennemen met 2·e^x uit de oorspronkelijke functie zodat je nog overhoudt $\int{}$5·e^x en dat is gewoon 5·e^x

Het totaalresultaat wordt $\int{}$(x²-x+2)·e^x dx = (x²-3x+5)·e^x + C

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
27-5-2021