WisFaq!

Vraagstuk optimalisatie met cilinder

Je wenst een cilindervormig blik te ontwerpen zodat het een gegeven volume v* heeft. Het materiaal voor de boven- en onderkant kost 0.75 euro/m² en het materiaal voor het gekromde deel van het blik kost 0.50 euro/m².

• Vind de verhouding tussen hoogte en straal van het blikje zodat de constructiekost minimaal is.

Ik ben zo begonnen: het volume van een cilinder is hπr².

v*=0,5h.π.0,75r²

Vervolgens wou ik een manier vinden om hier een mooie functie van te maken met 1 variabele zodat ik de nulpunten kon zoeken en een tekentabel opstellen om het minimum van de kost te vinden, maar dit lukt me niet.

Kan iemand mij helpen?

Jade Lemoine
22-4-2021

Antwoord

Om te beginnen moet je inzien dat die verhouding niet afhangt van de inhoud. Dus mogen we die inhoud wel voor het gemak op 1m³ stellen. Alle maten zijn dus ook in meters

We beginnen met de oppervlakten
Bodem en deksel hebben elk oppervlakte $\pi$·r².
De kosten zijn 0,75·2·$\pi$·r²
De mantel heeft omtrek 2$\pi$r maal h levert oppervlak.
De kosten zijn 0,5·2·$\pi$·r·h

Dus totale kosten zijn TK = 1,5·$\pi$·r² + $\pi$·r·h

Nu de inhoud op 1 stellen dan h·$\pi$·r² = 1 dus h = 1/($\pi$·r²)

Substitueer nu deze waarde van h in de kostenfunctie. Dat levert die mooie functie van r op met een minimum.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
22-4-2021