WisFaq!

Raaklijnen van een ellips uit een punt dat geen deel uit maakt van de ellips

Hallo ik heb een vraag bij de volgende oefening:
Uit het punt D(x₁,y₁) trekt men de raaklijnen t₁, t₂ aan de ellips E $
\leftrightarrow
$ x₂/a₂ + y₂/b₂ = 1

a Bewijs dat de richtingscoëfficiënten van t₁, t₂ de oplossingen zijn van (a₂-x₁2)m2 + 2x₁y₁m + b₂ - y₁2 = 0 (x₁ verschillend van + of -a)

Ik heb hiervoor de wortels van m berekend en kwam het volgende uit:
m = [-x₁y₁ + [(bx₁)² - (ab)² + (ay₁)²]$^{\frac{1}{2}}$] / [a² - x₁²]
of m = [-x₁y₁ - [(bx₁)² - (ab)² + (ay₁)²]$^{\frac{1}{2}}$] / [a² - x₁²]

Echter weet ik niet hoe ik moet bewijzen dat dit ook echt de richtingscoefficiënten zijn van de raaklijnen. Ik heb namelijk een vergelijking proberen oplossen met een willekeuring punt van de ellips, maar daar loop ik mee vast. Ik weet echt niet hoe ik dit kan bewijzen.

b Voor welke stand van D geldt dat t₁ loodrecht staat op t₂?
Dit heb ik opgelost door gebruik te maken van de wortels van m, het bleek een cirkel met middelpunt O en straal (a² + b²)$^{\frac{1}{2}}$ te zijn.

Ik zit dus vast bij het bewijs in a. Zou iemand me hierbij willen helpen? Alvast bedankt!

Naomi
14-4-2021

Antwoord

NB er staat niet dat je de vergelijking op moet lossen, er staat dat je moet laten zien dat $m$ aan de vergelijking moet voldoen.

Doe het daarom net andersom: stel de vergelijking van een lijn door $D$ op, met richtingscoëfficiënt $m$, en snijdt deze met de ellips. Bekijk dan wat moet gelden opdat er precies één snijpunt is (het raakpunt). Dat geeft een vergelijkng waar $m$ aan moet voldoet, en dat zal precies de gegeven vergelijking zijn.

kphart
15-4-2021