WisFaq!

ABC- Formule

Over het bewijs van ABC formule. Wij hebben het anders geleerd dan hier staat, namelijk ax²+bx+c = 0 door 4a delen, dus 4a²x²+4abx+4ac = 0, daarna staat er dat ze kwadraat splitsen gebruiken: (ax+b)²-b²+4ac. Kwadraat splitsen kan ik wel en ik begrijp waarom er -b² wordt gedaan, maar wat ik niet begrijp is hoe aan (2ax+b)² komen, en toch snappik kwadraat afsplitsen, maar bij deze vergelijking niet. Kunt u het me uitleggen?

H.
30-3-2003

Antwoord

Daar gaan we stap voor stap.
ax² + bx + c = 0
Jij schrijft delen, maar we vermenigvuldigen met 4a.
4a²x² + 4abx + 4ac = 0
Let nu goed op wat er in de volgende regel gebeurt. We maken het daar mogelijk om "een kwadraat af te splitsen".
4a²x² + 4abx + b² - b² + 4ac = 0
We tellen er iets bij (b²) en we trekken het er gelijk weer af (diezelfde b²). Daardoor verandert er niets aan het linker lid van de vergelijking (gelukkig maar). De eerste drie termen vormen nu dat kwadraat. Ik schijf ze even iets anders:
4a²x² + 4abx + b² = (2ax)² + 2·(2ax)·(b) + (b)²
De middelste term 2·(2ax)·(b) is nu het dubbele van het product van (2ax) en (b), en die komen beide ook in het kwadraat voor, zodat
4a²x² + 4abx + b² = (2ax + b)²
Reken deze laatste vorm nog maar eens uit: (2ax+b)(2ax+b)=...
De oorspronkelijke vergelijking levert dan met dit resultaat:
4a²x² + 4abx + b² - b² + 4ac = 0
(2ax + b)² - b² + 4ac = 0
(2ax + b)² = b² - 4ac .....(*)
En dan nu worteltrekken, aan beide kanten van het is-teken!
2ax + b = ±Ö(b² - 4ac)
2ax = -b ±Ö(b² - 4ac)
en daarna het geheel (beide kanten) delen door 2a en we hebben uitdrukkingen voor de beide wortels x van de oorspronkelijke vergelijking, mits ...
Want als b² - 4ac 0 bestaan die iksen niet; zie ook de uitdrukking die hierboven aangegeven is met (*)!

Handige formule (p + q)² = p² + 2pq + q²
Leer 'em van links naar rechts EN van rechts naar links. Leer 'em ook toepassen!

dk
30-3-2003