WisFaq!

Partiële afgeleiden van een productiefunctie

Beschouw de productiefunctie Q(K,L) waarvoor geldt dat voor alle λ element van R+ buiten 0: Q(λK,λL)=√λ.Q(K,L)

a) Als we de inputfactoren verviervoudigen, dan verdubbelt de output.
Deze uitspraak zou waar zijn, maar ik begrijp de redenering er niet achter aangezien ik zou denken dat de output ook zou verviervoudigen.

b) Er is sprake van toenemende meeropbrengsten bij schaalvergroting. Dit zou vals zijn, maar ik begrijp niet hoe ik ahv partiële afgeleiden tot deze conclusie moet komen.

Alvast bedankt voor de hulp!

Jade Lemoine
31-3-2021

Antwoord

Er staat voor alle $\lambda\in\mathbf{R}$⁺. Dat suggereert dat die $\lambda$ de centrale variabele is in deze opgave en dat is ook zo.

Verder gaat het om schaalvergroting en dat betekent per definitie dat de productiefactoren K en L telkens met eenzelfde factor ($\lambda$) verhoogd worden.

Welnu, je ziet dat als de productiefactoren toenemen dat ook de productie toeneemt met √$\lambda$. Door die √$\lambda$ zal die toename afvlakken.

Nu de berekening: inputfactoren (beide) verviervoudigen betekent $\lambda$=4 en dus Q(4K,4L) = √4·Q(K,L) dus productie verdubbelt.

De toename verloopt volgens een functie f(x)=√x (x=$\lambda$)
f'(x)= ¹/₂x^-1/2 Dat is dus altijd positief dat betekent dat stijging van $\lambda$ uiteindelijk ook altijd een stijgende productie Q tot gevolg heeft.

Maar of die stijging toenemend of afnemend is bepaalt nu de tweede afgeleide f''(x) = -¹/₄x^-1,5 en aangezien die tweede afgeleide altijd negatief is betekent dat een afnemende (afvlakkende) stijging.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
1-4-2021