WisFaq!

Productiefunctie verandering in eenheden

De productiefunctie Q van een bedrijf wordt gegeven door:

$
\eqalign{Q(K,L) = 2K^{\frac{1}
{3}} \cdot L^{\frac{2}
{3}} + K^{\frac{2}
{3}} \cdot L^{\frac{1}
{3}}}
$

Waarbij K het ingezette kapitaal en L de ingezette arbeid voorstelt.

Veronderstel dat de arbeidseenheden 8 keer meer zijn dan de kapitaalseenheden. Het bedrijf haalt hiermee een zekere productieoutput die het ook in de toekomst wil blijven handhaven.

• Met hoeveel procent moet dan de omzet van arbeidseenheden (ongeveer) opgetrokken worden als een daling van 1 % van de kapitaalseenheden moet gecompenseerd worden?

Om deze opdracht op te lossen dacht ik gebruik te maken van de eerste en tweede partiële afgeleide van Q, maar ik weet niet wat ik hier verder mee kan doen en hoe ik aan een oplossing moet komen. De oplossing in mijn boek is: met 2/3 %.

Alvast bedankt voor de hulp!

Jade Lemoine
27-3-2021

Antwoord

Dit is in de economie een elasticiteitsprobleem. Door het kleine veranderingspercentage (1%) en de toevoeging van 'ongeveer' mag je hierbij gebruikmaken van de puntelasticiteit van de productie Q, zowel afhankelijk van het kapitaal K als van de arbeid L (labour). Dat werkt dus inderdaad met partiele afgeleiden,

Maar eerst even de uitgangssituatie. Dat is de productiefunctie:
Q(K,L) = 2K^1/3·L^2/3+K^2/3·L^1/3 . Bij K=1 en L=8 wordt Q=10

Opmerking: ook als K=3 en L=24 dan worden verhoudingen niet aangetast en zal de uiteindelijke uitkomst hetzelfde zijn. Dus werken met K=1, L=8 en Q=10 is geen probleem.

Puntelasticiteit van de productie afhankelijk van kapitaal is verhouding
% verandering van de productie Q / % verandering van het kapitaal K

In formule E^Q_K = dQ/dK · K/Q = Q'_K · K/Q
(deze formule is bekend in de economie en kan je op internet gewoon terugvinden bij puntelasticiteit).
Partiele afgeleide Q'_K = ²/₃K^-2/3·L^2/3 + ²/₃K^-1/3·L^1/3
= 8/3 + 4/3 = 4 bij K=1 en L=8
Dat betekent dat de elasticiteit E^Q_K = Q'_K · K/Q = 4·1/10 = 0,4

Dus 1% afname van kapitaal K zorgt voor 0,4% afname van productie Q bij K=1 en L=8.

Hetzelfde doe je nu voor E^Q_L en dat heb je het verband tussen procentuele verandering van de productie Q en de arbeid L

Vervolgens moet je daarmee een afname van van de productie Q met 0,4% wegpoetsen en daar rolt inderdaad uit een toename van L met ²/₃%.

Goed, er blijft nog wat te rekenen voor jou over, maar dat moet kunnen lijkt me. Ik heb het zelf helemaal doorgerekend en krijg inderdaad dezelfde uitkomst.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
27-3-2021