WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op woensdag 4 augustus 2021

Gelijkheid

Toon aan dat voor alle a, b, c van de positieve getallen uitgezonderd 0 geldt dat: a/bc + b/ca + c/ab groter of gelijk is aan 2/a + 2/b - 2/c. Voor welke waarden van a,b,c treedt de gelijkheid op?

kiara
8-3-2021

Antwoord

Merk op dat zowel a als b als c positief zijn en dus ook niet 0 mogen zijn.

Nu breng alles onder de noemer abc en kijk naar de tellers links en rechts.
De noemer (abc) kunnen we verder vergeten omdat alle getallen $>$ 0 zijn (gegeven), die noemer wordt dus niet negatief waardoor het teken zou kunnen omklappen.

Te bewijzen a2+b2+c2 $\ge$ 2bc + 2ac - 2ab.
Alles naar links brengen levert op
a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc $\ge$ 0

En nu moet je even doorhebben dat links een kwadratische vorm van drie termen (zelf ook even uitschrijven) staat die te schrijven is als:

(a+b-c)2 $\ge$ 0 En dat is natuurlijk altijd waar.

Hopelijk ben ik onderweg geen minnetje verloren, maar dit is het principe. Die andere vraag moet je nu zelf kunnen beantwoorden.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
9-3-2021


© 2001-2021 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#91677 - Bewijzen - 2de graad ASO