WisFaq!

Re: Vraagstuk differentiaalvergelijking oplossen

Zelf heb ik al dit:

Antwoorden:
Een differentiaalvergelijking van de eerste orde, lineair, inhomogeen komt voor in de vorm van: dxdt+a.f(t)=f(t) .
De algemene oplossing van zo’n differentiaalvergelijking is gelijk aan y(t)= yh+yp waarbij yh staat voor de homogene oplossing en yp staat voor een particuliere oplossing.

Dus eerst moet je de homogene oplossing van je differentiaalvergelijking oplossen. Dit doe je met de formule: yh(t)= C.e-a.t.

Daarna moet je een particuliere oplossing zoeken. Een particuliere oplossing krijg je door de algemene vorm te nemen van de functie f(t). Dit noemen ze de probeerfunctie.

Deze probeerfunctie moet je nu invullen in de differentiaalvergelijking. Hiervoor moet je dus eerst de afgeleide van de probeerfunctie bepalen. Hier in dit geval is dat dan dxdt = cos(x) als je dit dan invult in de differentiaalvergelijking krijg je: cos(x) + a(sin(bx))= f(t).

Nu heb je een vergelijking dus moet het linkerlid hetzelfde zijn als het rechterlid. Als je dan het linker en rechterlid aan elkaar gelijk probeert te maken vind je de onbekenden en krijg je dus een particuliere oplossing.

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking krijg je nu door de homogene oplossing op te tellen bij de particuliere oplossing.

y(t)= yh+yp

stap 1: homogene oplossing vinden
yh(t)= C. e-.t
stap 2: een particuliere oplossing vinden
eerst zoek je de algemene vorm van 5sin3t dat is gelijk aan: fp=a.sin[b(t-c)]+d
Nu moet je de afgeleide zoeken van de algemene vorm: fp’(t).
fp’(t)= cos(b(t-c)).t

Als je dit invult in de differentiaalvergelijking krijg je
cos(b(t-c)).t + a(5sin(3t))= 5sin(3t)

Het is dus vooral bij vraag c dat ik vastloop de rest begrijp ik wel al redelijk alvast bedankt voor uw antwoord.

warrre
28-2-2021

Antwoord

De oplossing voor de homogene is niet $y_H(t)=Ce^{-t}$, vul maar eens in. Wat wel klopt is $y_H=Ce^t.$
Standaard in dit geval probeer je voor $y_P=A\cos3t + B\sin3t.$ Invullen geeft:

$-3A\sin3t + 3B\cos3t -A\cos3t + B\sin3t = 5 \sin 3t.$

Dus:

$3B-A=0$ en $-3A+B=5$, dus $B=?$ en $A=?$. Kun zelf wel uitrekenen denk ik?

Lukt het zo?

js2
28-2-2021