WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op zondag 26 september 2021

Scheiden der veranderlijken

'Een gebied heeft een maximale bevolkingscapaciteit van 200 miljoen mensen. Op elk tijdstip t is de mate van de toename van de bevolking evenredig met het verschil van de bevolkingscapaciteit en de bevolking op dat moment. Aanvankelijk leven er 50 miljoen mensen, en tien jaar later zijn er al 109 miljoen mensen.'

Kan iemand mij verder helpen? Ik zit vast.

Wat ik al denk te hebben gevonden vind je hier, of dit juist is weet ik echter niet.

t= tijdstip in jaren Tijdstip t: mate toename bevolking ~ (bevolkingscapaciteit - bevolking dat moment) t=0: bevolking dat moment = 50 miljoen
dy/dt= mate toename bevolking
dy/dt= k y(t)
k= groeisnelheid
y(t)= mensen in populatie
t=0 ? y(t) = 50 miljoen mensen (0 ~ 150) t=10? y(t) = 109 miljoen mensen (10 ~ 91)

f'(x)=k fx)$\le$ dy/dt=k y(t)$\le$ dy=kydt $\le$ dy/y=kdt
$\le$ln(y)=k+C $\le$e^ln(y)=ek+C $\le$ y=ek e^C
$\le$ y=ek C'

Alvast bedankt voor de hulp!

Emma
27-2-2021

Antwoord

Hallo Emma,

Ik begrijp je notatie niet goed. Ik zie ergens staan:

dy/dx=ky(t)

Dit is in ieder geval onjuist. In woorden geef je hiermee aan: "De mate van toename van de bevolking is evenredig met de bevolking op dat moment". Dit is niet wat in de opgave staat. Gegeven is:
"De mate van toename van de bevolking is evenredig met het verschil van de bevolkingscapaciteit en de bevolking op dat moment".

Het verschil van de bevolkingscapaciteit en de bevolking op dat moment (in miljoenen) is te noteren als 200-y(t). Hiermee wordt de differentiaalvergelijking:

dy/dt = k(200-y(t))

Scheiding van veranderlijken geeft:

dy/(200-y(t)) = kdt

Lukt het je om deze differentiaalvergelijking op te lossen?

Je zult zien dat je twee onbekende constanten overhoudt: k en de gebruikelijke integratieconstante. Gelukkig heb je twee randvoorwaarden:
y(0)=50
y(10)=109

Lukt het hiermee om ook deze constanten te berekenen?

GHvD
27-2-2021


© 2001-2021 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#91635 - Differentiaalvergelijking - 3de graad ASO