WisFaq!

Afschatten van een veelterm

hoi,
.. kan iemand mij helpen met het aantonen van:
x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1 1/2
x een reel getal
alvast bedankt

asmar
29-3-2003

Antwoord

ik weet niet goed wat je bedoelt met x een reeel getal, maar ik geef je mijn visie in drie stukjes:

1) als x -1/2 dan lijkt me de ongelijkheid vrij triviaal: doordat je er aan de linkerkant 1 bij optelt is het resultaat van de som altijd groter dan een 1/2.
2) als x -1 heb je een vergelijkbare situatie, maar die is misschien wat minder triviaal: schrijf de ongelijkheid daarvoor als volgt:
I: x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x -1/2, oftewel
II: x(x⁵+x⁴+x³+x²+x+ 1) -1/2
Voor een getal kleiner dan -1 is abs(x⁵) groter dan abs(x⁴), abs(x³) groter dan abs(x²), en abs(x) is groter dan 1. Al deze grotere termen zijn in de vergelijking negatief, dus het resultaat van de optelling tussen de haakjes is ook negatief.
Aangezien je nog een keertje met het negatieve getal zelf vermenigvuldigt (de x), is het uiteindelijke resultaat positief en dus groter dan -1/2.
3. De getallen tussen -1 en -1/2 in zijn wat lastiger te doorzien, maar gaan eigenlijk wel op dezelfde manier. Omdat het bij II nu gaat om breuken is de absolute waarde abs(x⁴) juist kleiner dan abs(x³) en abs(x²) is kleiner dan abs(x). Omdat ook x⁵ negatief is, is het resultaat van de som tussen haakjes een beetje kleiner dan 1: weer een breuk dus. Als je dit vermenigvuldigt met de negatieve x die ook een breuk was, dan is het resultaat een breuk die groter is dan -1/2. De absolute waarde is weliswaar groter, maar daar werd niet naar gevraagd: het resultaat ligt dichter bij 0 dan -1/2 en dus is het groter.
Schrijf het eens uit voor bijvoorbeeld x=-1/2, dan kan je de exponenten paarsgewijs bekijken zoals hierboven beschreven. Misschien is er nog wel een slimmere manier, maar zo blijkt het te kloppen voor elke waarde van x.

Emma
29-3-2003