WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op maandag 20 september 2021

Scheiding van variabelen

Een groep van 800 mensen - studenten, vrienden, verloofden, ouders, etc. - zit op het einde van het academiejaar gespannen te wachten op de proclamatie van de resultaten. Iemand uit deze groep beweert dat hij/zij het - uiteraard foutieve - gerucht heeft opgevangen dat slechts 15% van de studenten geslaagd is.

Dit onrustbarende nieuws verspreidt zich als een lopend vuurtje. Sociologen beweren dat de mate van de toename van het aantal mensen dat het gerucht vernomen heeft evenredig is met het product van het aantal mensen die het gerucht gehoord hebben en het aantal mensen die het gerucht nog niet gehoord hebben. Als na ́n minuut al 50 mensen het gerucht opgevangen hebben, na hoeveel tijd heeft 95% van de aanwezigen het gerucht gehoord?

Aanwijzing: om de integraal te berekenen gebruik je dat:

𝑎𝑦 .(𝑎−𝑦) = 1𝑎−𝑦 + 1𝑦

Kan iemand mij op weg helpen bij dit vraagstuk? Ik geraak er echt niet wijs uit.

Janne Debrauwer
18-2-2021

Antwoord

Je krijgt een DV van de vorm
$$\frac{dy}{dt} = k\cdot y\cdot (a-y)
$$met $a=800$ in dit geval, en $k$ de evenredigheidsconstante.
Als je de variabelen scheidt krijg je
$$\frac1{y(a-y)}dy=k\,d t
$$en met de hint wordt dat
$$\frac1a\left(\frac1{a-y}+\frac1y\right)dy=k\, dt
$$Nu kun je gaan primitiveren.

kphart
18-2-2021


© 2001-2021 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#91563 - Differentiaalvergelijking - 3de graad ASO