WisFaq!

Re: Integraal met een functie in e-macht

ik begrijp niet echt hoe je aan F(x) van f(x) komt. Moet je dan eerst de afgeleide ervan bepalen? want als ik de afgeleide bepaal kom ik uit op 2e¹+2x maar zoals u zegt is dat dan niet hetzelfde. Wat ik dan eigenlijk moet doen is de afgeleide gaan vermenigvuldigen met een getal om aan f(x) te komen? Of heeft dit een vaste eigenschap dat ik moet toepassen?

elke
20-1-2021

Antwoord

Hallo Elke,

Je weet dat de afgeleide van e^x weer e^x is. Dan geldt dit ook voor de weg terug: de primitieven van e^x zijn e^x+C. De constante C heeft een willekeurige waarde, want de afgeleide van deze constante is 0. Ik zal deze C verder buiten beschouwing laten.

Wellicht denk je dat, op grond van dezelfde regel, geldt:

f(x)=e^2x geeft als primitieve F(x)=e^2x

Maar dit is onjuist. Een primitieve functie is die functie waarvan de afgeleide weer de oorspronkelijke functie oplevert, er moet gelden:

F'(x)=f(x)

Laten we eens kijken wat de afgeleide van F(x)=e^2x oplevert:

F(x)=e^2x geeft F'(x)=e^2x·2 = 2e^2x

Dit is niet gelijk aan de oorspronkelijke functie f(x)=e^2x, het scheelt een factor 2. Deze factor 2 is het gevolg van de kettingregel.

Omdat deze afgeleide een factor 2 te groot is, is kennelijk deze primitieve ook een factor 2 te groot. Door aan deze primitieve een factor ¹/₂ toe te voegen, maak je het geheel correct:

F(x)=¹/₂·e^2x geeft F'(x)=¹/₂·e^2x·2 = e^2x

Nu is F'(x) wel gelijk aan f(x).

GHvD
20-1-2021