WisFaq!

Re: Affiene deelruimte

Def: (i) Zij D een affiene deelruimte van Rⁿ. Dan bestaat er een unieke deelruimte W waarvoor D=v+W voor een v element van Rⁿ. We noemen W de geassocieerde vectordeelruimte van D.
(ii) Zij D=v+W. Elke vector in D noemen we een plaatsvector van D. Elke vector in W noemen we een richtingsvector van D.

Onder deze definitie staat er als opmerking dan een affiene deelruimte D van dimensie k is uniek bepaald door 1 plaatsvector en k linear onafh. richtingsvectoren. Is het mss omdat we D kunnen voorstellen als v+a₁.w₁+a₂.w₂+...+a_k.w_k?

Rafik
2-1-2021

Antwoord

Je laatste zin is niet de reden, maar het gevolg van die opmerking. Waar komen volgens jou die $w_1$, tot en met $w_k$ vandaan dan?

In de juiste volgorde: Gegeven $D$ bestaan $v$ en $W$. Neem een basis $\{w_1,\ldots,w_k\}$ voor $W$ (daar komen die vectoren vandaan, eerder is vastgesteld dat elke deelruimte van $\mathbb{R}^n$ een basis heeft, dat passen we nu toe). Die $k+1$ vectoren leggen $D$ nu geheel vast: elke $x\in D$ is van de vorm $v+w$ met $w\in W$, en $w$ is dan, als in je laatste zin, te schrijven als lineaire combinatie van $w_1$ tot en met $w_k$.

kphart
2-1-2021