WisFaq!

Wortel van een complex getal met een onbekende

Op het voorbeeldexamen kwam ik deze vraag tegen, maar telkens als ik ze probeer kom ik op heel ongewone getallen achter de sinus en cosinus:

ix⁴+i=1

Alvast bedankt voor het helpen!

staf
2-12-2020

Antwoord

Je kunt $ix^4+i=1$ omschrijven tot $x^4+1=-i$ of
$$x^4=-1-i
$$In modulus-argumentvorm:
$$r^4\exp(4i\theta) = \sqrt2\cdot\exp(-\frac34\pi i)
$$dus $r=2^{\frac18}$ en $4\theta=-\frac34\pi+2k\pi$ ($k=0,1,2,3$). Ik neem aan dat je zo ver gekomen bent en zelfs tot
$$\theta = -\frac3{16}\pi+\frac12k\pi \qquad (k=0,1,2,3)
$$Je kunt $\sin\frac3{16}\pi$ en $\cos\frac3{16}\pi$ bepalen vanuit $\sin\frac34\pi$ en $\cos\frac34\pi$ door twee keer hoekhalvering toe te passen met behulp van de bekende formules
$$\sin2x=2\,\sin x\,\cos x\text{ en }\cos2x=\cos^2x-\sin^2x
$$

kphart
2-12-2020