WisFaq!

Bepalen van lineaire functies

In mijn boek staat de volgende oefening:
Zoek alle lineaire functies f: R³$\to$R die voldoen aan f(1,2,3) = 1, f(4,5,6) = 0 en f(5,7,9) = 1. Hoeveel lineaire functies zijn er, en beschrijf ze indien er oplossingen zijn.

Zelf begrijp ik dat er oneindig veel lineaire functies zijn die voldoen aan de voorwaaarden en deze zijn van de vorm ax + by + cz. Maar ik moet ook een verzameling geven voor (a,b,c). In mijn boek staat de oplossingsverzameling als (-5/3 + l, 4/3-2l, l met l element van R).
Via de Gauss Jordan methode geraak ik aan x = -5/3 en y = 4/3 maar mijn z = 0 dus ik begrijp niet hoe ik de lambda moet vinden.

Alvast bedankt voor de hulp!

Jade Lemoine
12-11-2020

Antwoord

Je krijgt het stelsel vergelijkingen
a+2b+3c=1
4a+5b+6c=0
5a+7b+9c=1

Via GJ vindt je:
1 0 -1 -5/3
0 1 2 4/3
0 0 0 0

Let goed op: ingevuld geeft dit:
a-c=-5/3
b+2c=4/3
0=0

Je vindt dus geen oplossing voor c. (en zeker niet voor $x$ en $y$, je zoekt immers oplossingen voor de coëfficiënten van je lineaire functie)

We noemen dit een enkelvoudig ontaard stelsel en je kunt c vrij kiezen. Blijkbaar kiezen jullie in de cursus ervoor $c=\lambda$. Je vind dan eenvoudig de oplossingen voor $a$ en $b$ door die in te vullen in de vergelijking hiervoor.

Lukt dit?

js2
12-11-2020