Het is gelukt, maar de weg ernaar toe is naar mijn gevoel nodeloos omslachtig. Ik heb het volgende gedaan:
Als we $r = -q_j / 2$ nemen dan kunnen we simpelweg aannemen dat er een x in de doorsnede zit, om dan een tegenspraak af te kunnen leiden met de aanname dat $x_j $\ge$ 0$ is (we krijgen namelijk dat $x_j$ wel kleiner dan 0 moet zijn als hij in deze doorsnede zit, dus tegenspraak). Hierbij maken we gebruik van het feit dat $|x_j - q_j| $\le$ |x - q|$.
Maar het tweede geval is omslachtiger wegens gebruik van driehoeksongelijkheid, we nemen wederom aan dat er een x in de doorsnede zit. dan merken we op dat $x_1 +...+ x_n$ = 1. Dat substitueren in de gekozen $r$. We vereenvoudigen dan de zaak door er een enkele sommatie van te maken en vervolgens herhaald driehoeksongelijkheid toe te passen. Daarna gebruiken we het feit dat $|x_1 - q_1| + ... + |x_n - q_n| $\le$ n \cdot |x-p|$. Hier krijgen we onze tegenspraak met de volgende afleiding als zo'n x bestaat in de doorsnede, namelijk dat $|x_1 - q_1| + ... + |x_n - q_n| $>$ 2n \cdot |x-p|$.
Kunnen deze gevallen niet sneller opgelost worden?Richard
11-11-2020
Het hoeft niet uit het ongerijmde:
neem $x$ in de eerste bol, dan geldt $x_i-q_i| < -q_i/2$, dus $x_i < q_i/2 < 0$.
En voor $x$ in de tweede bol geldt $|x_i-q_i| < r$ voor alle $i$, dus, inderdaad met behulp van de driehoeksongelijkheid, $|x_1+\cdots+x_n-(q_1+\cdots+q_n)| < nr$ en dus $x_1+\cdots+x_n\neq 1$.
kphart
11-11-2020
#90928 - Bewijzen - Student universiteit