WisFaq!

Re: Differentiëren

Jaa maar nu lukt de 2e afgeleide mij niet. Ik ben geraakt tot een bepaald punt maar kan daar niet verder. Mijn uitkomst zou f''(x)=(2x²-1)/√(x²+1)⁵ moeten zijn.

Mel
5-11-2020

Antwoord

Zei ik nu net dat zoiets handiger kan?

$
\eqalign{
& f(x) = \frac{1}
{{\sqrt {x^2 + 1} }} = \left( {x^2 + 1} \right)^{ - \frac{1}
{2}} \cr
& f'(x) = - \frac{1}
{2}\left( {x^2 + 1} \right)^{ - \frac{3}
{2}} \cdot 2x \cr
& f'(x) = - \frac{x}
{{\sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^3 } }} \cr}
$

Dat is beter werk!

Nu de tweede afgeleide:

$
\eqalign{
& f'(x) = - \frac{x}
{{\sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^3 } }} \cr
& f'(x) = - x\left( {x^2 + 1} \right)^{ - \frac{3}
{2}} \cr
& f''(x) = - 1 \cdot \left( {x^2 + 1} \right)^{ - \frac{3}
{2}} + - x \cdot - \frac{3}
{2}\left( {x^2 + 1} \right)^{ - \frac{5}
{2}} \cdot 2x \cr
& f''(x) = - \left( {x^2 + 1} \right)^{ - \frac{3}
{2}} + 3x^2 \left( {x^2 + 1} \right)^{ - \frac{5}
{2}} \cr
& f''(x) = - \frac{1}
{{\left( {x^2 + 1} \right)^{\frac{3}
{2}} }} + \frac{{3x^2 }}
{{\left( {x^2 + 1} \right)^{ - \frac{5}
{2}} }} \cr
& f''(x) = - \frac{{x^2 + 1}}
{{\left( {x^2 + 1} \right)^{\frac{5}
{2}} }} + \frac{{3x^2 }}
{{\left( {x^2 + 1} \right)^{ - \frac{5}
{2}} }} \cr
& f''(x) = \frac{{ - x^2 - 1 + 3x^2 }}
{{\left( {x^2 + 1} \right)^{ - \frac{5}
{2}} }} \cr
& f''(x) = \frac{{2x^2 - 1}}
{{\left( {x^2 + 1} \right)^{ - \frac{5}
{2}} }} \cr
& f''(x) = \frac{{2x^2 - 1}}
{{\sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^5 } }} \cr}
$

Is dat handig of is dat handig?

Naschrift

Echt handig is het niet, maar 't kan natuurlijk wel met de quotiëntregel. Je moet misschien zelf even kijken waar je precies de fout in gaat en waarom!

$
\eqalign{
& f'(x) = - \frac{x}
{{\sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^3 } }} = \frac{{ - x}}
{{\sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^3 } }} \cr
& f''(x) = \frac{{ - 1 \cdot \sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^3 } - - x \cdot \frac{1}
{{2\sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^3 } }} \cdot 3\left( {x^2 + 1} \right)^2 \cdot 2x}}
{{\left( {\sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^3 } } \right)^2 }} \cr
& f''(x) = \frac{{ - \sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^3 } + \frac{{3x^2 }}
{{\sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^3 } }} \cdot \left( {x^2 + 1} \right)^2 }}
{{\sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^6 } }} \cr
& f''(x) = \frac{{ - \left( {x^2 + 1} \right)^3 + 3x^2 \cdot \left( {x^2 + 1} \right)^2 }}
{{\sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^6 } \cdot \sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^3 } }} \cr
& f''(x) = \frac{{ - \left( {x^2 + 1} \right)^3 + 3x^2 \cdot \left( {x^2 + 1} \right)^2 }}
{{\sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^9 } }} \cr
& f''(x) = \frac{{ - x^2 - 1 + 3x^2 }}
{{\sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^5 } }} \cr
& f''(x) = \frac{{2x^2 - 1}}
{{\sqrt {\left( {x^2 + 1} \right)^5 } }} \cr}
$

Hoe moeilijk kan dat zijn?

WvR
5-11-2020