WisFaq!

Re: Re: Analyse van meer variabelen

Beste KpHart,

voor de functie 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥²+𝑦²+8𝑦−6𝑥𝑦 = 1 en die bevat oneindig veel punten (𝑥,𝑦) waarbij 𝑥 en 𝑦 gehele getallen zijn.

Na uw methode heb ik ook 𝑥 vrijgemaakt om te zien of er gehele getallen als oplssingen zijn. Dus x = 0 dan krijg ik 1 = y² + 8y en met abc formule heb ik twee oplossingen met wortels gekregen: (0, −8+√682) en (0, -8 − √682).
Dus geen gehele getallen. Dat betekent dat analytisch oplossen kan niet.

Ik heb geprobeerd om de functie algebraisch en/of meetkundig en of getaltheoritisch oplossen, helaas lukte mij niet.

Is dat mogelijk dan, dat de functie algebraisch en/of meetkundig en of getaltheoritisch opgelosd kan worden en dat ik als oplossingen gehele getallen kan krijgen?.
Eerlijk gezegd heb ik geprobeerd, maar lukt mij helaas niet.

Met vriendelijke groeten,
M

M
30-10-2020

Antwoord

Bij $x=0$ krijg ik $y=-4\pm\sqrt{17}$.
Wat je wilt lijkt me hopeloos, hier is een plot van een stuk van de oploskromme



Dat is een hyperbool, met een heleboel punten zonder gehele coördinaten; alleen naar die formule kijken helpt niet zoveel denk ik; ook niet als je $y$ algemeen in $x$ uitdrukt:
$$y=-4+3x\pm\sqrt{8x^2-24x+17}
$$De methode uit het artikel van Pythagoras geeft je alle oplossingen: bij elk paar $(x_k,y_k)$ met $k$ oneven bepaal je $(m_k,n_k)$ zo dat $m_k-3n_k=\pm x_k$ en $2n_k-1=\pm y_k$ (per $k$ vier oplossingen dus). Zo krijg je alle geheeltallige oplossingen.

kphart
30-10-2020