$
\eqalign{
& f(x) = {{x^2 } \over {2(x - 4)}} \cr
& f(x) = {{x^2 } \over {2x - 8}} \cr
& f'(x) = {{2x \cdot (2x - 8) - x^2 \cdot 2} \over {(2x - 8)^2 }} \cr
& f'(x) = {{4x^2 - 16x - 2x^2 } \over {(2x - 8)^2 }} \cr
& f'(x) = {{2x^2 - 16x} \over {(2x - 8)^2 }} \cr
& f'(x) = {{2x\left( {x - 8} \right)} \over {(2x - 8)^2 }} \cr
& f'(x) = {{2x\left( {x - 8} \right)} \over {(2\left( {x - 4} \right))^2 }} \cr
& f'(x) = {{2x\left( {x - 8} \right)} \over {4(x - 4)^2 }} \cr
& f'(x) = {{x(x - 8)} \over {2\left( {x - 4} \right)^2 }} \cr}
$
Het is soms handiger om de haakjes in de teller en noemer niet weg te werken. Bij het laatste stuk probeer je (als het kan) de uitdrukking nog verder te vereenvoudigen. Dat is in het algemeen wel beter, maar je moet het maar zien.
Je kunt (als ze zou willen) de zaak ook iets anders aanpakken:
$
\eqalign{
& f(x) = {{x^2 } \over {2(x - 4)}} \cr
& f'(x) = {{2x \cdot 2(x - 4) - x^2 \cdot 2} \over {\left( {2\left( {x - 4} \right)} \right)^2 }} \cr
& f'(x) = {{4x^2 - 16x - 2x^2 } \over {4\left( {x - 4} \right)^2 }} \cr
& f'(x) = {{2x^2 - 16x} \over {4\left( {x - 4} \right)^2 }} \cr
& f'(x) = {{x^2 - 8x} \over {2\left( {x - 4} \right)^2 }} \cr
& f'(x) = {{x\left( {x - 8} \right)} \over {2\left( {x - 4} \right)^2 }} \cr}
$
En dan ben je er ook. Kan allemaal. De vraag is alleen of het 'verplicht' is te ontbinden in factoren. Dat hangt een beetje van de afspraken af. Ik zou $\eqalign{
f'(x) = {{x^2 - 8x} \over {2\left( {x - 4} \right)^2 }}
}$ een prima antwoord vinden.
Ik weet niet of dit een antwoord is op je vraag. In principe zou ik zeggen:
- Probeer zoveel mogelijk te vereenvoudigen
- Laat zoveel mogelijk de haakjes staan
- Meerdere antwoorden kunnen goed zijn
Meestal ga je met de afgeleide nog verder rekenen. Met een eenvoudiger uitdrukking is dat handiger en bij 't oplossen van vergelijkingen met de afgeleide is ontbinden in factoren soms heel handig en als 't een beetje meezet heb je dat dan al gedaan.
Voorbeeld
Als je $\eqalign{
f'(x) = {{2x^2 - 16x} \over {(2x - 8)^2 }}
}$ als afgeleide hebt uitgerekend en je wilt weten waar de afgeleide nul is dan zou je zoiets krijgen als:
$
\eqalign{
& {{2x^2 - 16x} \over {(2x - 8)^2 }} = 0 \cr
& 2x^2 - 16x = 0 \cr
& x^2 - 8x = 0 \cr
& x(x - 8) = 0 \cr
& x = 0 \vee x = 8 \cr}
$
Als je $\eqalign{
f'(x) = {{x(x - 8)} \over {2\left( {x - 4} \right)^2 }}
}$ als afgeleide hebt dan gaat het wat sneller:
$
\eqalign{
& {{x(x - 8)} \over {2\left( {x - 4} \right)^2 }} = 0 \cr
& x(x - 8) = 0 \cr
& x = 0 \vee x = 8 \cr}
$
Handig...
Als je nog meer voorbeelden hebt waarbij je je afvraagt 'waarom?' laat het weten!
WvR
14-10-2020