WisFaq!

Re: Re: Re: Voorschrift van homografische functie zoeken

Die berekeningen heb ik ook kunnen maken, maar mijn vraag was eerder: hoe bewijs je dat de twee aanpakken gelijk zijn? Hoe passeert men van f(x) = (ax+b)/(cx+d) naar f(x)=a + b/(x-c)? Wat is het verband tussen de twee?

Wat mij stoort is dat ik iets toepas (methode f(x) = a + b/(x-c)) zonder te begrijpen van waar die functie komt.
Nogmaals bedankt voor de moeite.

Evi
4-10-2020

Antwoord

Ik was er al bang voor...

...maar je kunt (inderdaad) de een wel uit de ander afleiden. Dat gaat zo:

$
\eqalign{
& f(x) = \frac{{ax + b}}
{{cx + d}} \cr
& f(x) = \frac{{\frac{a}
{c}x + \frac{b}
{c}}}
{{x + \frac{d}
{c}}} \cr
& f(x) = \frac{{\frac{a}
{c}x + \frac{a}
{c} \cdot \frac{d}
{c} - \frac{a}
{c} \cdot \frac{d}
{c} + \frac{b}
{c}}}
{{x + \frac{d}
{c}}} \cr
& f(x) = \frac{{\frac{a}
{c}\left( {x + \frac{d}
{c}} \right) - \frac{a}
{c}\frac{d}
{c} + \frac{b}
{c}}}
{{x + \frac{d}
{c}}} \cr
& f(x) = \frac{a}
{c} - \frac{{\frac{a}
{c}\frac{d}
{c} - \frac{b}
{c}}}
{{x + \frac{d}
{c}}} \cr
& f(x) = \frac{a}
{c} + \frac{{\frac{b}
{c} - \frac{{ad}}
{{c^2 }}}}
{{x + \frac{d}
{c}}} \cr
& Kies: \cr
& a^* = \frac{a}
{c} \cr
& b^* = \frac{b}
{c} - \frac{{ad}}
{{c^2 }} \cr
& c^* = - \frac{d}
{c} \cr
& f(x) = a^* + \frac{{b^* }}
{{x - c^* }} \cr}
$

Ik heb de sterretjes gebruik om aan te geven dat het om andere variabelen gaat dan eerst...

Als je teller en noemer deelt door $c$ (en dat kan altijd) dan ben je die variabele alvast kwijt. Dat is toch wel weer aardig...

Voorbeeld

$
\eqalign{
& f(x) = \frac{{6x - 2}}
{{3x + 4}} \cr
& a = 6,\,\,b = - 2,\,\,c = 3\,\,en\,\,d = 4 \cr
& a^* = \frac{6}
{3} = 2 \cr
& b^* = \frac{{ - 2}}
{3} - \frac{{6 \cdot 4}}
{{3^2 }} = - \frac{{10}}
{3} \cr
& c^* = - \frac{4}
{3} \cr
& f(x) = 2 + \frac{{ - \frac{{10}}
{3}}}
{{x + \frac{4}
{3}}} \cr
& f(x) = 2 - \frac{{10}}
{{3x + 4}} \cr}
$

Werkwijze

$
\eqalign{
& f(x) = \frac{{6x - 2}}
{{3x + 4}} \cr
& f(x) = \frac{{6x + 8 - 8 - 2}}
{{3x + 4}} \cr
& f(x) = 2 + \frac{{ - 10}}
{{3x + 4}} \cr
& f(x) = 2 - \frac{{10}}
{{3x + 4}} \cr}
$

WvR
5-10-2020