WisFaq!

Re: Euclidische deling

Beste
Ook ik zit vast bij oefening 1. Kan je deze oefening verder uitwerken? De oplossing is R(x) = 2x +4

Ik probeerde al:

We kiezen voor A(x) een tweedegraadsterm:

A(x) = a x² + bx + c

De eerste deling vervangen door het invullen van (3).
Dit geeft 9a + 3b + c = 10
De tweede deling vervangen door het invullen van (-2).
Dit geeft 4a -2b +c = 0
Als ik hier de combinatiemethode toepas, krijg ik:

5a+5b =10 dus a+b =2

Ik loop steeds vast.
Alvast bedankt voor je hulp!

Wendy
27-9-2020

Antwoord

Duid het quotiënt bij deling van A(x) door (x-3)(x+2) aan met Q(x) en de rest met R(x), dan hebben we

A(x) = (x-3)(x+2)Q(x) + R(x)

De graad van het polynoom A(x) kennen we niet, en de graad van het polynoom Q(x) dus ook niet, maar van de rest R(x) kunnen we zeggen dat dit een polynoom is in x van ten hoogste de graad 1, want anders zouden we de deling nog verder voort kunnen zetten. Laten we dus zeggen dat

R(x) = ax+b

waarbij a en b nader te bepalen constanten zijn, dan hebben we

A(x)=(x-3)(x+2)Q(x) + (ax+b)

De rest bij deling van A(x) door (x-3) is 10, dus A(3) = 10 en de rest bij deling van A(x) door (x+2) is 0, dus A(-2)= 0

Invullen van x=3 en x=-2 in

A(x)=(x-3)(x+2)Q(x) + (ax+b)

geeft nu resp.

10 = 3a + b
0 = -2a + b

Dit is een lineair stelsel in de onbekenden a en b met als eenduidige oplossing a = 2, b = 4. De rest bij deling van A(x) door (x-3)(x+2) is dus 2x+4.

Anneke
28-9-2020