WisFaq!

Analyse van meer variabelen

De functie 𝑓:$\mathbf{R}$²$\to\mathbf{R}$ is als volgt gedefinieerd:

f(x,y)=x²+y²+8y−6xy

'De niveauverzameling f(x,y)=1 bevat oneindig veel punten (x,y) waarbij x en y gehele getallen zijn'.

Kan iemand mij helpen om de bovenstaande bewering te bewijzen? Alvast bedankt.

Met vriendelijke groet,
M. MM

M
26-9-2020

Antwoord

Ik weet niet wat de bedoeling van de opsteller van de vraag is maar je kunt $f(x,y)$ omschrijven tot
$$(x-3y)^2-2(2y-1)^2+2
$$dat betekent dat we moeten laten zien dat
$$(x-3y)^2-2(2y-1)^2=-1
$$oneindig veel geheeltallige oplossingen heeft.

Lees nu het artikel van Peter Stevenhagen in het nummer van Pythagoras in de link hieronder; daarin zie je hoe je geheeltallige oplossingen van de Pellvergelijking(en)
$$n^2-2m^2=\pm1
$$kunt vinden.

Zie Pythagoras 36-5 [https://pyth.eu/uploads/user/ArchiefPDF/Pyth36-5.pdf]

kphart
27-9-2020