WisFaq!

Volledige inductie

Goedemiddag beste allen,

Ik ben een uitwerking aan het bestuderen en loop helaas tegen enkele problemen aan. Het gaat om de volgende opdracht welke met behulp van volledige inductie moet worden opgelost:

Gegeven:
1+2+3+.....+n=0,5n(n+1)

Te bewijzen:
1+2+3+.....+n+(n+1)=0,5(n+1)(n+2)

Bewijs
0,5n(n+1)(n+2= 0,5(n+1)(n+2)

(n+1)+(0,5n+1)= 0,5(n+1)(n+2)
zou je mij kunnen uitleggen hoe ze aan(n+1)+(0,5n+1)komen?

0,5n(n+1)(n+2)= 0,5(n+1)(n+2)
welke berekeningen hebben ze toegepast om van (n+1)+(0,5n+1)naar 0,5n(n+1)(n+2) te gaan?

Hartelijk dank voor de reactie en hulp!!

Mario
26-8-2020

Antwoord

Ik denk dat die '0,5n(n+1)(n+2)' gelijk moet zijn aan '0,5n(n+1)+(n+1)' en ik denk dat die '(n+1)+(0,5n+1)' gelijk moet zijn aan '(n+1)·(0,5n+1)'. Dus ik bedoel maar, ergens klopt er iets niet...

Op volledige inductie staat het uitgebreid uitgelegd. Je moet maar 's kijken.

Om van $
\frac{1}
{2}n(n + 1) + (n + 1)
$ naar $
(n + 1)\left( {\frac{1}
{2}n + 1} \right)
$ te komen kun je $
n + 1
$ buiten haakjes halen.

Links krijg je dan:

$
\eqalign{
& 1 + 2 + 3 + ... + n + n + 1 = \cr
& \frac{1}
{2}n(n + 1) + (n + 1) = \cr
& (n + 1)\left( {\frac{1}
{2}n + 1} \right) = \cr
& (n + 1) \cdot \frac{1}
{2}\left( {n + 2} \right) = \cr
& \frac{1}
{2}(n + 1)\left( {n + 2} \right) \cr}
$

Lukt dat zo?

WvR
26-8-2020