WisFaq!

Periodiek vissen

Hallo,

In mijn wiskundeboek staat de volgende opgave:

In het vispopulatie model (y'=ay-H, y(0)=y0, t$\ge$0) neem a=1 and H als 1+cos(t) (er wordt dus periodiek gevist). Vind via de volgende algemene oplossing formule (y(t)=H/a+(y0-H/a)e^at) deze specifieke oplossingsformule en beschrijf de effecten van vissen voor verschillende beginpopulaties (y0). hint: maak gebruik van het feit dat: (e^-t(sin(t)-cos(t))/2)'=e^-tcos(t).

Ik heb de algemene oplossingsformule ingevuld met de waarden en vervolgens geprobeerd te vereenvoudigen. Echter weet ik niet zo goed wat ik met de hint aan moet. Kunt u mij in de juiste richting sturen?

groet,

Erwin

Erwin
9-7-2020

Antwoord

Als het goed is is dit je algemene oplossing:
$$y(t)=1+\frac12(\cos t-\sin t)+Ce^t
$$Op tijdstip $0$ hebben we dan
$$y(0) = 1+\frac12+C
$$dus $C=y(0)-\frac32$.
Kortom
$$y(t) = 1+\frac12(\cos t-\sin t)+\bigl(y(0)-\tfrac32\bigr)e^t
$$Nu kun je zien voor wat voor waarden van $y(0)$ de populatie zal uitsterven, of exploderen, of periodiek zal zijn.

kphart
10-7-2020