WisFaq!

Tessellation van een sfeer zonder formule van Euler

We bekijken de situatie van een versiering (tessellation in het Engels) van een sfeer (bol schil met straal 1 en middelpunt (0,0,0)) met behulp congruente regelmatige veelhoeken.

Bekijk een polygon met $p$ hoeken. Stel dat we een er in een knoop (hoekpunt) $q$ van zulke polygons samenkomen. Gevraagd wordt om te bewijzen dat 1/p + 1/q $<$ 1/2.

Ik heb dit met de formule van Euler kunnen oplossen. Echter is de vraag om dit zonder de formule van Euler te doen. Hoe pak ik dit probleem dan aan?

Jan
29-2-2020

Antwoord

Dat lijkt we lastig te bewijzen, want het klopt niet: in een kubus hebben we $p=4$ en $q=3$, en $\frac14+\frac13=\frac7{12}$ (dat is groter dan $\frac12$).
Je zou eens in De Elementen van Euclides kunnen kijken, zie de link hieronder.

Zie De Elementen: over Platonische lichamen [https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXIII/propXIII18.html#remark]

kphart
29-2-2020