WisFaq!

Bepaalde integraal met andere afgeleide

Beste

Dit thema is nieuw voor mij en ik heb het dan ook nog niet helemaal onder de knie, vandaar deze vraag. Ik heb moeite met het oplossen van deze integraal en ook met de vraagstelling. Ik begrijp niet goed wat er juist gevraagd wordt.

Ten eerste : hoe kan je die integraal uitrekenen? Via substitutie lukt het mij niet want wat moet ik dan gelijk aan elkaar stellen? Ik zie ook niet direct hoe dit kan via carnot of partiële. Ten tweede snap ik de vraagstelling niet helemaal. Als je die integraal bent uitgekomen, wat moet je dan doen? Ik zie het verband niet tussen die primitieve en de afgeleide van de andere functie met de wortel van pi over 2.



Welke stelling moet je daarvoor ook gebruiken?
Alvast bedankt!! Dit zou mij heel veel vooruit helpen.
Met vriendelijke groeten

Elena
13-1-2020

Antwoord

Deze som hoort vast bij lessen over De Hoofdstelling van de Integraalrekening (zie de link hieronder). Die zegt: als $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ continu is dan bestaat voor elke $x\in[a,b]$ de integraal $\int_a^x g(t)\mathrm{d}t$ en de nieuwe functie $G:[a,b]\to\mathbb{R}$ die je zo definieert, $G(x)=\int_a^x g(t)\mathrm{d}t$, is een primitieve van $g$; er geldt dus $G'(x)=g(x)$.

In jouw voorbeeld hebben we in eerste instantie
$$G(x)=\int_0^x\frac{2t}{1+\sin^2t}\mathrm{d}t
$$Dus hier geldt $G'(x)=\frac{2x}{1+\sin^2x}$ (hiervoor hoeven we de integraal niet uit te rekenen).

In je opgave geldt $f(x)=G(x^2+3\pi)$, dus je kunt $f'(x)$ nu bepalen met behulp van de kettingregel, en dan $\sqrt{\pi/2}$ invullen.

Zie Wikipedia: Hoofdstelling van de Integraalrekening [https://nl.wikipedia.org/wiki/Hoofdstelling_van_de_integraalrekening]

kphart
13-1-2020