WisFaq!

Variantie is nul

In ons cursusboek staat dat Var(X) = 0 als X een constante is. De reden hiervoor is dat volgens de definitie: Var(X) = E[(X-E)²] volgt dat als Var(X) = 0, dan (X-E)² = 0. Hieruit volgt dan dat X = E, en omdat E een getal is volgt dat X een constante moet zijn. Maar ik zie dit "als Var(X) = 0, dan (X-E)² = 0" deze stap nog niet helemaal want dit kan je weer niet zeggen voor bijvoorbeeld Var(X) = 1, dus waarom werkt het wel voor Var(X) = 0?

Nico
23-12-2019

Antwoord

Je haalt in je vraag en uitleg twee dingen door elkaar.
Je eerste zin bevat: als $X$ constant is dan $\mathrm{Var}(X)=0$.
Je tweede en derde zin gaan over: als $\mathrm{Var}(X)=0$ dan is $X$ constant. De redenering is bijna correct: als de variantie gelijk aan $0$ is dan volgt, omdat $P((X-E(X))^2\ge0)=1$, dat $P((X-E(X))^2 > 0)=0$ en dus $P(X=E(X))=1$, en dat laatste betekent dat $X$ constant is.
Als de variantie gelijk is aan $1$ dan is de kans $P((X-E(X))^2 $>$ 0)$ ongelijk aan $0$, en veel meer kun je niet zeggen.

kphart
23-12-2019