WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op dinsdag 18 februari 2020

Meetkunde, bewijzen straal cirkel

Hoi, ik heb een vraag over meetkunde in het onderwerp bewijzen. Ik kreeg als huiswerkopgave, drie cirkels waarvan ik van 2 de straal wist maar van de derde cirkel niet. Ik zou met Pythagoras de straal moeten berekenen, maar ik weet niet helemaal hoe ze dat hebben gedaan.
gegeven is dat:

c1: Middelpunt (0,4) en r = 4
c2: r = 2 en die de x-as raakt en ook cirkel 1
c3: raakt c1 en c2 en de x-as

Ik moest bewijzen door de pythagorasmethode dat ik op een straal van 4√2 kwam.

Kunt u mij alstublieft helpen?

Ela
29-11-2019


Antwoord

Hallo Ela,

Als ik het goed begrijp, gaat het om de volgende figuur:

q88734img1.gif

Als dit inderdaad is wat je bedoelt, dan kan de straal van cirkel c3 niet gelijk zijn aan 4√2.
Hieronder zie je dat ik in de figuur driehoek ABC heb getekend:

q88734img2.gif

A en B zijn de middelpunten van c1 en c2. AC is evenwijdig aan de x-as, BC is evenwijdig aan de y-as. Je ziet: AB=4+2=6 en BC=2. Met pythagoras berekenen we:

AC=√(62-22)
AC=√32
AC=4√2

Volgens jou zou de straal van c3 ook gelijk zijn aan 4√2, maar in de figuur zie je dat deze straal niet gelijk kan zijn aan de zijde AC. Heb je de vraag verkeerd overgenomen, of heb je een tussenresultaat aangezien als eindantwoord?

Ik help je op weg om de straal van c3 te berekenen, zie de figuur hieronder.

q88734img3.gif

Ik heb nog twee driehoeken toegevoegd. D is het middelpunt van c3, het lijnstuk EDF is evenwijdig aan de x-as. De straal van c3 noem ik r.

In driehoek ADE geldt dan:
DE2=AD2-AE2
DE2=(4+r)2-(4-r)2
DE2=16r (vergelijking 1)

In driehoek BDF geldt:
DF2=BD2-BF2
DF2=(2+r)2-(2-r)2
DF2=8r (vergelijking 2)

Verder weet je:
DE+DF=AC)
DE+DF=4√2 (vergelijking 3

Je hebt nu 3 vergelijkingen met 3 onbekenden (DE, DF en r). Hiermee is r te berekenen.

Lukt het hiermee?

GHvD
29-11-2019


© 2001-2020 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#88734 - Bewijzen - Leerling bovenbouw havo-vwo