WisFaq!

Re: Wentelen om een algemene functie

Beste meneer,

Ik had de manier die u hier beschrijft al zelf bedacht (maar wist niet hoe ik deze kort uit kon leggen). U zegt daarnaast dat er voor mijn voorbeeld van wentelen om de derdegraadsvergelijking veel gereken nodig is, maar is het niet mogelijk om een coördinatentransformatie uit tevoeren waarbij de functie y=x³ de functie y=0 wordt. Dit werkte bij mijn tweede voorbeeld namelijk ook (u kwam op het zelfde antwoord uit).Maar ik weet niet zeker of het volume invariant blijft onder de eerder genoemde transformatie. Is dit zo?

Met vriendelijke groeten,
A.R.

Antoni Ruszczyk
28-11-2019

Antwoord

Bij de rechte lijn hoef je alleen te roteren en dat laat de inhoud onverlet. Je kunt een kromme op een heleboel manieren recht leggen maar daarbij blijven de hoeken en de inhoud lang niet altijd gelijk.
Bijvoorbeeld: de transformatie $(x,y)\mapsto(x,y-x^3)$ brengt de grafiek van $y=x^3$ naar de $x$-as, en $y=x^2$ wordt dan $y=x^2-x^3$. Alle hoeken worden anders en ik weet niet wat er met het oorspronkelijke wentellichaam gebeurt; van die cirkels uit het vorige antwoord blijft weinig over denk ik.

Je kan de grafiek ook `uitrollen', door $(x,x^3)$ naar het punt $(s,0)$ te sturen, waarbij $s$ de lengte is van het boogje tussen $(0,0)$ en $(x,x^3)$. De formule voor $s$ als functie van $x$ is niet fraai:
$$s(x)=\int_0^x\sqrt{1+9t^4}\,\mathrm{d}t
$$en dan hebben we nog niet eens bedacht wat we met de andere punten van het vlak moeten doen.

kphart
29-11-2019