WisFaq!

Wentelen om een algemene functie

Beste meneer/mevrouw,

Op het middelbare onderwijs heb ik geleerd hoe ik een gebied om de x-as of y-as kan wentelen(en de inhoud berekenen). Mijn vraag is of het mogelijk is om een algemene functie kan wentelen?

Bijvoorbeeld: het gebied tussen de functies y₀=x² en y₁=x³ wordt om y₀ gewenteld. Hoe bereken ik dan de inhoud (als dat exact kan)?

Het is me gelukt om dit probleem om te lossen als de functie waar om wordt gewenteld een lineaire functie is, dan is het namelijk mogelijk om alles te draaien en wordt het probleem dus gereduceerd tot het gewone wentelen om de x-as.

Een voorbeeld daarvan is: het gebied ingesloten tussen de functies f₀=x , f₁=$\pi$-x en f₂=sin(x) wordt gewenteld om f₀. Volgens mijn berekeningen is de inhoud van dit omwentelingslichaam exact: $\pi$²($\pi$²-9)/(6√2). Mijn vraag over dit gedeelte is of mijn waarde van de inhoud correct is?

Daarnaast ben ik maar niet op de details van mijn berekeningen (partiele integratie, substituties en rotatie met behulp van complexe getallen) en ideeën ingegaan, want daarvoor heb ik erg veel tijd nodig en ik wil eers weten of het uberhaupt mogelijk is dat ik geholpen wordt.

Met vriendelijke goeten

Antoni
23-11-2019

Antwoord

Ik heb de berekening ook gedaan en ik kwam uit op deze integraal
$$\frac\pi4\sqrt2\int_0^\pi(-x+\sin x)^2(1+\cos x)\,\mathrm{d}x
$$en die heeft inderdaad de waarde die je gevonden hebt: $\eqalign{\frac{\pi^2(\pi^2-9)}{6\sqrt2}}$.

Rond willekeurige krommen roteren is lastig want de eerste vraag is hoe je je dat voorstelt. In het geval van $y=x^3$ draaien om $y=x^2$ zou ik vanuit elk punt $P$ op de kromme $y=x^2$ de lijn door dat punt loodrecht op de kromme met de tweede snijden met snijpunt~$Q$, en de cirkel nemen om $P$, door $Q$, en loodrecht op het vlak. Dat wordt een heel gereken, met een derdegraadsvergelijking. Verder kan het ook nog zo zijn dat sommige van die cirkels elkaar snijden en dat je zo stukken van het wentellichaam dubbel telt.

kphart
27-11-2019