WisFaq!

Transformatie van een functie

Hallo

Stel X als zijnde Weibull verdeeld. Ik moet bewijzen dat de variabele Y=aX^b (a en b $>$ 0) ook Weibull-verdeeld is.
In mijn poging (zie bijlage) heb ik de techniek van de transformatie van functies toegepast, maar ik weet niet of wat ik gevonden heb volstaat.
Bedankt.
Mvg
Raf

Raf
18-11-2019

Antwoord

Als je wilt zien dat je met een Weibull-verdeling te maken hebt zul je de dichtheidsfunctie inderdaad moeten vereenvoudigen, tot je weer een Weibullverdeling herkent (met andere parameters natuurlijk).
Je kunt ook de verdelingsfunctie bekijken:
$$P(X\le x) = 1-\exp\left(-\left(\frac x\lambda\right)^k\right)
$$Verder heb je
$$P(Y\le y) = P(aX^b\le y) = P\left(X\le\left(\frac ya\right)^{\frac1b}\right)
$$Als dat laatste in de verdelingsfunctie invult krijg je
$$1-\exp\left(-\left(\frac y{\lambda^ba}\right)^{\frac kb}\right)
$$en dat is weer een Weibullverdeling, met parameters $k/b$ en $\lambda^ba$.

kphart
26-11-2019