Laten we naar vraag a) kijken.
In bovenstaande figuur hebben we een ellips met brandpunten A en B en met middelpunt M. We nemen een willekeurig punt P op de ellips en trekken de raaklijn. A en B projecteren we loodrecht op de raaklijn, de voetpunten zijn A_1 en B_1. Als we P in M spiegelen naar P', dan is de raaklijn aan P' evenwijdig aan de andere raaklijn. A en B kunnen we ook op die raaklijn loodrecht projecteren naar A_2 en B_2.
Zo hebben we een rechthoek A_1B_1B_2A_2.
Bekend is ook dat \angle APA_1 = \angle BPB_1 = \angle AP'A_2 = \angle BP'B_2. Die noemen we \alpha. We zien dat \Delta APA_1 \cong \Delta BP'B_2 en \Delta BPB_1 \cong \Delta AP'A_2.
In \Delta APA_1 zien we dat PA_1 = AP \cos(\alpha) en AA_1 = AP \sin(\alpha).
En net zo zien we dat PB_1 = BP \cos(\alpha) en AA_2 = BB_1 = BP \sin(\alpha).
De rechthoek heeft dus zijden met lengte (AP+BP)\sin(\alpha) en (AP+BP)\cos(\alpha).
De diagonaal van die rechthoek heeft dus lengte AP+BP (Pythagoras en \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1) die daarmee onafhankelijk is van de positie van P. De diagonaal gaat uiteraard ook door M, dat immers ook het middelpunt van de rechthoek is.
Dat betekent dat de punten A_1, A_2, B_1 en B_2 op de cirkel liggen met middelpunt M en straal r=\frac 12 (AP+BP).
Merk nu op dat AA_1 \cdot BB_1 = AA_1 \cdot AA_2 gelijk is aan de macht van A ten opzichte van deze cirkel. Uitleg hierover in de link onderaan. Daar zie je ook dat deze macht gelijk is aan AM^2 - r^2. Dat is een negatief getal omdat er ook wordt gewerkt met "gerichte" lijnstukken. Voor deze opgave is dat niet van belang en kun je het minteken weglaten. Als je dat hebt gedaan, volgt het gevraagde.
Met deze kennis moet je volgens mij b) kunnen maken. Als dat niet zo blijkt te zijn, laat dan je werk zien, en leg uit waar je vast loopt, dan kunnen we kijken of je daarmee verder te helpen bent.
Met vriendelijke groet,
Zie De macht van een punt tov. een cirkel [http://www.pandd.demon.nl/machtpunt.htm]
FvL
15-11-2019