WisFaq!

Differentieerbaar en continu in bepaald punt

Beste,

Gegeven:
f: $\mathbf{R}$ $\to$ $\mathbf{R}$
x $\to$ ^{(x-a)2 - (a-b)2}/_x-b - b, als x $>$ 4
x $\to$ log(sqrt(ax) e^(bx) als 0$<$x$\le$4

(Met log wordt bedoelt de natuurlijke logaritme).

Gevraagd:
Vind alle a, b zodat de functie continu en differentieerbaar is in x = 4.

Na lang lang rekenwerk ben ik gekomen tot b = ⁷/₈.
Echter kom ik er verder niet uit. Ik krijg namelijk de volgende gelijkheid om a te bepalen: 4a + log(a) = 1 + log(¹/₄). In een oogopslag zie ik dat a= ¹/₄. Ik weet echter niet hoe ik dit exact moet oplossen? Hulp is gewenst.

Met vriendelijke groet,

Erik-Jan

Erik-Jan
14-9-2019

Antwoord

Beste Erik-Jan,

Je ziet in één oogopslag een oplossing. Dan kun je met "lelijk" verder redeneren de oplossing afronden: Laat zien dat $f(a)=4a+log(a)$ op haar hele domein een continue en stijgende functie is. Met als gevolg dat er slechts één oplossing kan zijn. En die had je al gezien.

Groet,

FvL
14-9-2019