WisFaq!

Verzameling relaties bewijzen

Beste Wisfaq,

Zou u mij kunnen helpen bij deze verzameling relaties te bewijzen (in de zin van hoe ik het wiskundig correct kan opschrijven). Ik snap zelf wel wat er wordt bedoeld met de relaties, maar het bewijs op een correcte wiskundige manier opschrijven vind ik echt heel moeilijk.

- Prove the foll owing statement for the arbitrary sets A, B and C:

(A ∩ C) ∪ (B ∩ D) ⊆ (A ∪ B) ∩ (C ∪ D)

- Let A be an arbitrary set in the universal set U. Note that the power set(set of al l subsets) of A, P(A) is a subset of P(U ), the power set of the universal set U.

Prove that P(A^c) ⊆ (P(A))^c ∪ {∅}.

- Zij A en B willekeurige deelverzamelingen van de universele verzameling U,met de eigenschap dat P(A) en P(B) disjunct zijn. Bewijs dat in dit gevalA en B ook disju nc t zijn. Met wisk u nd i ge notatie, bewijs dat de volgendeuitspraak waar is:

P(A) ∩ P(B) = ∅ ⇒ A ∩ B = ∅,

- Bewijs de volgende stelling voor de wi l l ekeurige verzamelingen A, B en C uit de universele verzameling U:

A ⊂ B ∪ C ⇒ (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) = A

Alvast bedankt

Alex van der Steen
5-9-2019

Antwoord

Mijn algemene aanwijzing is: schrijf het op zo'n manier op dat iemand anders het zonder moeite kan lezen, met uitleg in woorden.
Bij de eerste ga je als volgt te werk:

Stel $x\in (A\cap C)\cup(B\cap D)$.
Dan schrijf je om wat dat betekent, hier dus:
Dan geldt $x\in A\cap C$ of $x\in B\cap D$.
Bij een `of' moet je gevallen onderscheiden, dus:
Geval 1: $x\in A\cap C$.
Weer omschrijven:
Dan geldt dus $x\in A$ en $x\in C$.
Nu een conclusie trekken:
Dan geldt dus ook $x\in A\cup B$ en $x\in C\cup D$.
Dan bijeen nemen:
En dus geldt $x\in (A\cup B)\cap(C\cup D)$.
Tweede geval:
Geval 2: $x\in B\cap D$.
Dat wordt bijna een kopie van Geval 1, doe dit zelf.
Dan samenvatten:
Dus: als $x\in(A\cap C)\cup(B\cap D)$ dan $x\in (A\cup B)\cap (C\cup D)$.
En vertalen
En dat betekent dus $(A\cap C)\cup(B\cap D)\subseteq(A\cup B)\cap (C\cup D)$.

Probeer je argumenten voor de andere beweringen ook zo maar eens uit te leggen aan de lezer van een brief.

kphart
6-9-2019