WisFaq!

Kansdichtheidsfunctie

Ik heb de volgende kansdichtheidsfunctie (in Maple notatie):

f(x) = -(2*(-2*b^2*x^2+sqrt(a)*sqrt(b^2*x^2+a)-a)*exp(-2*(sqrt(b^2*x^2+a)-sqrt(a))*x))/(sqrt(b^2*x^2+a))

Op https://www.integral-calculator.com/ blijkt de integraal (in Maple notatie):

Int(f(x),x=0..infinity)

gelijk te zijn aan 1. Ik kon geen oplossing vinden voor de integraal (in Maple notatie):

Int(x^k*f(x),x=0..infinity).

Misschien weet U een oplossing?

Ad van der Ven
5-9-2019

Antwoord

Een primitieve van $f(x)$ is
$$F:x\mapsto -\exp\left( -2\, \left( \sqrt {{b}^{2}{x}^{2}+a}-\sqrt {a} \right) x\right)
$$Deze gaat voor $x\to\infty$ zeer snel naar $0$.
Ik zou een stap partiële integratie doen:
$$\int_0^\infty x^kf(x)\,dx=\left[x^kF(x)\right]_0^\infty-
\int_0^\infty kx^{k-1}F(x)\,dx
$$en daarna numeriek benaderen, voor de waarden van $a$ en $b$ die van belang zijn.

kphart
11-9-2019