WisFaq!

Differentiaalvergelijking met 2 de lid NIET NUL

Goede dag,
y'''+3y''+3y'+1=x+5
Y(h) homogene vergelijking oplossing :
y(h)=C(1)e^-x+C(2)xe^-x +C(3)x²e^-x
Y(p) zou moeten zijn een veelterm van de 4 de graag
Ax⁴+Bx³+Cx²+Dx+E
En ik vind als totale oplossing :
y=y(h)+y(p)is de totaaloplossing van de som van de homogene en de particuliere oplossing van de DV.
y=y(h)+y(p)=C(1)e^-x+C(2)xe^-x+C(3)x²e^-x +x+2
A=0;B=0;C=0;D=1 ;E=2 ((en in C(2) x en bij C(3) is dat x² dat ingebracht wordt na de constante C(2) en C(3).))wegens de driedubbele wortel.
Maar ik zou graag wat uitleg willen bij de particuliere oplossing van de vierde graad.
komt dat omdat we drie wortels hebben die identiek zijn in het eerste lid waar dus ook bij C(2 x wordt vermenigvuldigd en bij C(3) met x²
Ik tel dus 3 wortels(-1;-1;-1) en x is dubbel in beide leden van DV.
Is dat de reden (dus 3+1=4) en dan een vierde graad opstellen voor y(p) met Ax⁴ als eerste term??
Ben ik juist met mijn redenering of is er een andere reden voor de opstelling 4 de graad voor y(p) particuliere oplossing ?
Groetjes en bedankt voor eeneventueel kort antwoord aub..
Rik

Rik Lemmens
12-4-2019

Antwoord

Het is helemaal niet nodig met een vierdegraadsprobeersel te beginnen. De oplossing van de karakteristieke vergelijking is $r=-1$, zoals je gezien hebt, en $e^{-x}$ komt in het rechterlid niet voor.
Je hebt dus genoeg aan het rechterlid en zijn afgeleiden om het probeersel te maken en dan kom je uit op $Dx+E$ en dat werkt prima.

kphart
12-4-2019