WisFaq!

Rijen

Waarom heeft elke rij hoogstens één limiet? Alvast bedankt voor uw moeite.

Rafik
8-4-2019

Antwoord

Dat volgt uit de definities, zie de link hieronder.
Neem $L$ en $M$ voldoet beide aan de definitie, dus
voor elke $\varepsilon > 0$ bestaat een $N_L$ zo dat voor $n > N_L$ geldt $|x_n-L| < \varepsilon$
en ook
voor elke $\varepsilon > 0$ bestaat een $N_M$ zo dat voor $n > N_M$ geldt $|x_n-M| < \varepsilon$.
Stel nu $L\neq M$ en neem $\varepsilon=\frac13|L-M|$; voor die $\varepsilon$ bestaan dus $N_L$ en $N_M$ als boven. Neem nu een natuurlijk getal $n$ groter dan $N_L$ en $N_M$. Voor die $n$ hebben we $|x_n-L| < \varepsilon$ en $|x_n-M| < \varepsilon$.
Maar dan krijgen we $|L-M|\le|L-x_n|+|x_n-M| <\frac23|L-M|$, tegenspraak.
Dus $L=M$.

Zie wikipedia: limiet [https://nl.wikipedia.org/wiki/Limiet#Limiet_van_een_rij_getallen]

kphart
8-4-2019